EXERCÍCIO 1.27 Determine o potencial e o campo elétrico de uma esfera de raio R e densidade de carga uniforme \rho_{0}. Considere as seguintes condições: V(r=R)=\rho_{0} R^{2} /\left(3 \epsilon_{0}\right) e E(r=0)=0. Use \nabla^{2} em coordenadas esféricas:
\nabla^{2}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2} \operatorname{sen} \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\operatorname{sen} \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Pedido: determinar o potencial elétrico V(r) e o campo elétrico \mathbf{E}(r) gerados por uma esfera de raio R com densidade volumétrica de carga uniforme \rho_{0}.
  • Condições dadas:
    • V(r=R)=\dfrac{\rho_{0}R^{2}}{3\epsilon_{0}}.
    • E(r=0)=0.
  • Informação extra útil: a densidade de carga é constante em todo o volume interno da esfera e nula fora dela.
  • Fórmula diferencial indicada: operador laplaciano em coordenadas esféricas: \nabla^{2}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial\varphi^{2}}.
  • O que vamos usar: a equação de Poisson para o potencial eletrostático, \nabla^{2}V(\mathbf{r})=-\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_{0}}.
O próximo passo é simplificar isso usando a simetria esférica e resolver as equações resultantes.

Passo 2

Explique por que o problema tem simetria esférica e como isso simplifica o laplaciano.
  • A esfera tem densidade uniforme e nenhuma dependência angular, portanto o potencial e o campo dependem só da distância radial r ao centro: V=V(r) e \mathbf{E}=E(r)\,\hat r.
  • Quando V depende apenas de r, as derivadas angulares desaparecem e o laplaciano reduz-se à parte radial: \nabla^{2}V(r)=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV}{dr}\right).
  • Assim a equação de Poisson torna-se, dentro da esfera ( r<R, onde \rho=\rho_{0}): \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV}{dr}\right)=-\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}.
  • Fora da esfera ( r>R, onde \rho=0) temos a equação de Laplace: \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV}{dr}\right)=0.

Passo 3

Resolver Poisson para r<R (dentro da esfera). Vou integrar a equação diferencial passo a passo e explicar cada constante de integração.
Começamos com
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV}{dr}\right)=-\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}.
Multiplicando por r^{2}:
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV}{dr}\right)=-\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\,r^{2}.
Integramos em r (primeira integração):
r^{2}\frac{dV}{dr}=-\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\cdot\frac{r^{3}}{3}+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.
Dividindo por r^{2} (para obter dV/dr):
\frac{dV}{dr}=-\frac{\rho_{0}}{3\epsilon_{0}}\,r+\frac{C_{1}}{r^{2}}.
Agora relacionamos \dfrac{dV}{dr} com o campo elétrico. Por definição,
\mathbf{E}(r)=-\nabla V(r)=-\frac{dV}{dr}\,\hat r.
Portanto
\mathbf{E}(r)=\left(\frac{\rho_{0}}{3\epsilon_{0}}\,r-\frac{C_{1}}{r^{2}}\right)\hat r.
Usamos a condição E(r=0)=0 para determinar C_{1}. Observação: o termo -C_{1}/r^{2} diverge quando r\to 0 a menos que C_{1}=0. Como o enunciado impõe E(0)=0 (campo finito e nulo no centro) temos necessariamente
C_{1}=0.
Assim para r<R:
\frac{dV}{dr}=-\frac{\rho_{0}}{3\epsilon_{0}}\,r, \qquad \mathbf{E}(r)=\frac{\rho_{0}}{3\epsilon_{0}}\,r\,\hat r.
Integramos novamente para obter V(r) (segunda integração):
V(r)=-\frac{\rho_{0}}{3\epsilon_{0}}\cdot\frac{r^{2}}{2}+C_{2}=-\frac{\rho_{0}}{6\epsilon_{0}}\,r^{2}+C_{2},
onde C_{2} é outra constante a ser fixada pela condição em r=R.

Passo 4

Determinar a constante C_{2} usando a condição V(R)=\dfrac{\rho_{0}R^{2}}{3\epsilon_{0}}.
Substituindo r=R em V(r):
V(R)=-\frac{\rho_{0}}{6\epsilon_{0}}\,R^{2}+C_{2}=\frac{\rho_{0}R^{2}}{3\epsilon_{0}}.
Isolando C_{2}:
C_{2}=\frac{\rho_{0}R^{2}}{3\epsilon_{0}}+\frac{\rho_{0}}{6\epsilon_{0}}\,R^{2}=\frac{\rho_{0}R^{2}}{2\epsilon_{0}}.
Logo, para r\le R o potencial é
V(r)=-\frac{\rho_{0}}{6\epsilon_{0}}\,r^{2}+\frac{\rho_{0}R^{2}}{2\epsilon_{0}} =\frac{\rho_{0}}{6\epsilon_{0}}\left(3R^{2}-r^{2}\right),
e o campo (já obtido) é
\mathbf{E}(r)=\frac{\rho_{0}}{3\epsilon_{0}}\,r\,\hat r\qquad\text{(para \(r\le R\)).}

Passo 5

Resolver fora da esfera ( r>R) usando Laplace ou usando o fato físico de que fora da distribuição a esfera se comporta como carga pontual.
Equação fora: \dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{dr}\!\left(r^{2}\dfrac{dV}{dr}\right)=0.
Integrando uma vez:
r^{2}\frac{dV}{dr}=C_{3}\quad\Rightarrow\quad\frac{dV}{dr}=\frac{C_{3}}{r^{2}}.
Portanto
\mathbf{E}(r)=-\frac{dV}{dr}\,\hat r=-\frac{C_{3}}{r^{2}}\,\hat r.
A constante C_{3} pode ser encontrada usando a carga total Q da esfera (ou impondo continuidade do campo no limite r\to R^{+}). A carga total é
Q=\rho_{0}\cdot\text{volume}=\rho_{0}\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}.
Pela lei de Gauss, o campo fora de uma esfera carregada age como se toda a carga estivesse concentrada no centro:
\mathbf{E}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\,\hat r =\frac{\rho_{0}R^{3}}{3\epsilon_{0}}\frac{1}{r^{2}}\,\hat r\qquad(r\ge R).
Comparando com -C_{3}/r^{2}\,\hat r vemos que -C_{3}=\dfrac{\rho_{0}R^{3}}{3\epsilon_{0}}, logo C_{3}=-\dfrac{\rho_{0}R^{3}}{3\epsilon_{0}}.
Integramos para V(r) (fora) e usamos a condição física usual V(r)\to 0 quando r\to\infty (isso é compatível com a condição dada em r=R):
V(r)=\frac{C_{3}}{-r}+C_{4}=\frac{\rho_{0}R^{3}}{3\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{r}+C_{4}.
Impondo V(\infty)=0 temos C_{4}=0, então
V(r)=\frac{\rho_{0}R^{3}}{3\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{r}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}r}\qquad(r\ge R).
Observação: avaliando essa expressão em r=R obtém-se exatamente V(R)=\dfrac{\rho_{0}R^{2}}{3\epsilon_{0}}, em acordo com a condição fornecida.

Passo 6

Resumo físico e checagens de continuidade (importante para prova).
  • Continuidade do potencial em r=R: as fórmulas de V(r) dentro e fora dão o mesmo valor em r=R (checar algebraicamente se desejar).
  • Continuidade do campo normal na superfície: E_{r}(R^-)=\dfrac{\rho_{0}}{3\epsilon_{0}}R e E_{r}(R^+)=\dfrac{\rho_{0}R^{3}}{3\epsilon_{0}R^{2}}=\dfrac{\rho_{0}}{3\epsilon_{0}}R. Portanto o campo radial é contínuo na superfície porque não há camada de carga superficial extra além da distribuição volumétrica contínua.
  • Unidade e direção: \mathbf{E} está na direção radial \hat r, apontando para fora se \rho_{0}>0. As constantes têm as unidades corretas: \rho_{0}/\epsilon_{0} tem unidade de campo por comprimento, etc.

Resposta

Para r\le R:
V(r)=\frac{\rho_{0}}{6\epsilon_{0}}\left(3R^{2}-r^{2}\right), \qquad \mathbf{E}(r)=\frac{\rho_{0}}{3\epsilon_{0}}\,r\,\hat r.
Para r\ge R:
V(r)=\frac{\rho_{0}R^{3}}{3\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{r}, \qquad \mathbf{E}(r)=\frac{\rho_{0}R^{3}}{3\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{r^{2}}\,\hat r.

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