EXERCÍCIO 1.27 Determine o potencial e o campo elétrico de uma esfera de raio
e densidade de carga uniforme
. Considere as seguintes condições:
e
. Use
em coordenadas esféricas:
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
- Pedido: determinar o potencial elétrico
e o campo elétrico gerados por uma esfera de raio com densidade volumétrica de carga uniforme . - Condições dadas:
-
. -
.
-
- Informação extra útil: a densidade de carga é constante em todo o volume interno da esfera e nula fora dela.
- Fórmula diferencial indicada: operador laplaciano em coordenadas esféricas:
- O que vamos usar: a equação de Poisson para o potencial eletrostático,
O próximo passo é simplificar isso usando a simetria esférica e resolver as equações resultantes.
Passo 2
Explique por que o problema tem simetria esférica e como isso simplifica o laplaciano.
- A esfera tem densidade uniforme e nenhuma dependência angular, portanto o potencial e o campo dependem só da distância radial
ao centro: e . - Quando
depende apenas de , as derivadas angulares desaparecem e o laplaciano reduz-se à parte radial: - Assim a equação de Poisson torna-se, dentro da esfera (
, onde ): - Fora da esfera (
, onde ) temos a equação de Laplace:
Passo 3
Resolver Poisson para
(dentro da esfera). Vou integrar a equação diferencial passo a passo e explicar cada constante de integração.
Começamos com
Multiplicando por
:
Integramos em
(primeira integração):
onde
é constante de integração.
Dividindo por
(para obter
):
Agora relacionamos
com o campo elétrico. Por definição,
Portanto
Usamos a condição
para determinar
. Observação: o termo
diverge quando
a menos que
. Como o enunciado impõe
(campo finito e nulo no centro) temos necessariamente
Assim para
:
Integramos novamente para obter
(segunda integração):
onde
é outra constante a ser fixada pela condição em
.
Passo 4
Determinar a constante
usando a condição
.
Substituindo
em
:
Isolando
:
Logo, para
o potencial é
e o campo (já obtido) é
Passo 5
Resolver fora da esfera (
) usando Laplace ou usando o fato físico de que fora da distribuição a esfera se comporta como carga pontual.
Equação fora:
.
Integrando uma vez:
Integrando uma vez:
Portanto
A constante
pode ser encontrada usando a carga total
da esfera (ou impondo continuidade do campo no limite
). A carga total é
Pela lei de Gauss, o campo fora de uma esfera carregada age como se toda a carga estivesse concentrada no centro:
Comparando com
vemos que
, logo
.
Integramos para
(fora) e usamos a condição física usual
quando
(isso é compatível com a condição dada em
):
Impondo
temos
, então
Observação: avaliando essa expressão em
obtém-se exatamente
, em acordo com a condição fornecida.
Passo 6
Resumo físico e checagens de continuidade (importante para prova).
- Continuidade do potencial em
: as fórmulas de dentro e fora dão o mesmo valor em (checar algebraicamente se desejar). - Continuidade do campo normal na superfície:
e . Portanto o campo radial é contínuo na superfície porque não há camada de carga superficial extra além da distribuição volumétrica contínua. - Unidade e direção:
está na direção radial , apontando para fora se . As constantes têm as unidades corretas: tem unidade de campo por comprimento, etc.
Resposta
Para
:
Para
: