EXERCÍCIO 1.28 O potencial de uma dada região é V(r)=\alpha\left(1-r / r_{0}\right), onde \alpha e r_{0} são constantes e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} é a coordenada radial, com r \leq r_{0}. Qual é a densidade de carga dessa região?

Passo 1

O enunciado dá a função potencial dentro de uma região esférica como \displaystyle V(r)=\alpha\!\left(1-\dfrac{r}{r_{0}}\right) para r\le r_{0}. As constantes são \alpha e r_{0}. A variável r é a coordenada radial \displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
O que se pede: determinar a densidade de carga elétrica \rho(r) dessa região (isto é, para r\le r_{0}).
Informações relevantes dadas:
  • \displaystyle V(r)=\alpha\!\left(1-\dfrac{r}{r_{0}}\right) para 0\le r\le r_{0}.
  • \alpha e r_{0} são constantes.
  • A região é esfericamente simétrica (potencial depende só de r).

Passo 2

Fórmula que relaciona potencial e densidade de carga (Poisson): \nabla^{2}V(\mathbf{r}) = -\dfrac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_{0}}.
Explicando os símbolos:
  • \nabla^{2} é o laplaciano, que mede a curvatura do potencial no espaço.
  • \rho(\mathbf{r}) é a densidade de carga (o que queremos).
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (constante física).
Dessa equação isolamos \rho: \rho(\mathbf{r}) = -\varepsilon_{0}\,\nabla^{2}V(\mathbf{r}).
Como o potencial é função apenas de r (simetria esférica), o laplaciano simplifica para a forma radial conhecida: \nabla^{2}V(r)=\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{dr}\!\left(r^{2}\dfrac{dV}{dr}\right).
Aqui, dV/dr é a derivada ordinária em relação a r. Essa fórmula vem do laplaciano em coordenadas esféricas aplicada a funções radiais; serve para calcular \nabla^{2}V sem componentes angulares.

Passo 3

Calcular dV/dr a partir da expressão dada:
\dfrac{dV}{dr}=\dfrac{d}{dr}\!\left[\alpha\!\left(1-\dfrac{r}{r_{0}}\right)\right]=-\dfrac{\alpha}{r_{0}}.
Note que essa derivada é constante (não depende de r) para 0<r\le r_{0}.
Agora formar r^{2}\dfrac{dV}{dr}:
r^{2}\dfrac{dV}{dr}=r^{2}\left(-\dfrac{\alpha}{r_{0}}\right)=-\dfrac{\alpha}{r_{0}}\,r^{2}.
Derivando esse termo em relação a r:
\dfrac{d}{dr}\!\left(r^{2}\dfrac{dV}{dr}\right)=\dfrac{d}{dr}\!\left(-\dfrac{\alpha}{r_{0}}\,r^{2}\right)=-\dfrac{\alpha}{r_{0}}\cdot 2r=-\dfrac{2\alpha}{r_{0}}\,r.
Dividindo por r^{2} conforme a fórmula do laplaciano:
\nabla^{2}V(r)=\dfrac{1}{r^{2}}\left(-\dfrac{2\alpha}{r_{0}}\,r\right)=-\dfrac{2\alpha}{r_{0}}\cdot\dfrac{1}{r}.
Portanto, para 0<r\le r_{0} tem-se \displaystyle \nabla^{2}V(r)=-\dfrac{2\alpha}{r_{0}r}.
(Atenção ao caso r=0: a expressão dá uma singularidade 1/r. Vamos tratar isso no próximo passo.)

Passo 4

Agora aplicamos Poisson para obter \rho:
\rho(r) = -\varepsilon_{0}\,\nabla^{2}V(r) = -\varepsilon_{0}\left(-\dfrac{2\alpha}{r_{0}r}\right)=\dfrac{2\alpha\varepsilon_{0}}{r_{0}r},
válido para 0<r\le r_{0}.
Comentário sobre r=0: a expressão formal diverge quando r\to 0 (comportamento \sim 1/r), ou seja \rho(r)\to\infty ao aproximar-se da origem. Para ver se existe carga pontual no centro é útil calcular a carga total contida em uma esfera de raio R\le r_{0}:
Q(R)=\int_{0}^{R}\rho(r)\,4\pi r^{2}\,dr =4\pi\int_{0}^{R}\dfrac{2\alpha\varepsilon_{0}}{r_{0}r}\,r^{2}\,dr =4\pi\dfrac{2\alpha\varepsilon_{0}}{r_{0}}\int_{0}^{R}r\,dr.
Calcule a integral:
\int_{0}^{R}r\,dr=\dfrac{R^{2}}{2},
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Q(R)=4\pi\dfrac{2\alpha\varepsilon_{0}}{r_{0}}\cdot\dfrac{R^{2}}{2}=4\pi\dfrac{\alpha\varepsilon_{0}}{r_{0}}\,R^{2}.
Como Q(R)\to 0 quando R\to 0, não há carga pontual (delta) no centro — a divergência de \rho(r) é integrável e a carga total acumulada perto da origem tende a zero. A densidade é apenas singular em valor pontual, mas a carga total é finita em qualquer volume finito. Para R=r_{0} obtemos a carga total da esfera:
Q_{\text{total}}=Q(r_{0})=4\pi\alpha\varepsilon_{0}\,r_{0}.

Resposta

\displaystyle \rho(r)=\dfrac{2\alpha\varepsilon_{0}}{r_{0}\,r}\quad\text{para }0<r\le r_{0}

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