EXERCÍCIO 1.28 O potencial de uma dada região é
, onde
e
são constantes e
é a coordenada radial, com
. Qual é a densidade de carga dessa região?
Passo 1
O enunciado dá a função potencial dentro de uma região esférica como
para
. As constantes são
e
. A variável
é a coordenada radial
.
O que se pede: determinar a densidade de carga elétrica
dessa região (isto é, para
).
Informações relevantes dadas:
-
para . -
e são constantes. - A região é esfericamente simétrica (potencial depende só de
).
Passo 2
Fórmula que relaciona potencial e densidade de carga (Poisson):
Explicando os símbolos:
-
é o laplaciano, que mede a curvatura do potencial no espaço. -
é a densidade de carga (o que queremos). -
é a permissividade do vácuo (constante física).
Dessa equação isolamos
:
Como o potencial é função apenas de
(simetria esférica), o laplaciano simplifica para a forma radial conhecida:
Aqui,
é a derivada ordinária em relação a
. Essa fórmula vem do laplaciano em coordenadas esféricas aplicada a funções radiais; serve para calcular
sem componentes angulares.
Passo 3
Calcular
a partir da expressão dada:
Note que essa derivada é constante (não depende de
) para
.
Agora formar
:
Derivando esse termo em relação a
:
Dividindo por
conforme a fórmula do laplaciano:
Portanto, para
tem-se
.
(Atenção ao caso
: a expressão dá uma singularidade
. Vamos tratar isso no próximo passo.)
Passo 4
Agora aplicamos Poisson para obter
:
válido para
.
Comentário sobre
: a expressão formal diverge quando
(comportamento
), ou seja
ao aproximar-se da origem. Para ver se existe carga pontual no centro é útil calcular a carga total contida em uma esfera de raio
:
Calcule a integral:
logo
Como
quando
, não há carga pontual (delta) no centro — a divergência de
é integrável e a carga total acumulada perto da origem tende a zero. A densidade é apenas singular em valor pontual, mas a carga total é finita em qualquer volume finito. Para
obtemos a carga total da esfera: