Exercicio 28. Calcule o produto vetorial de vec{u} e vec{v} em cada caso:
vec{u}=(0,1,1) e vec{v}=(3,-1,2).

Passo 1

O enunciado pede o produto vetorial (ou cruz) entre os vetores \vec{u}=(0,1,1) e \vec{v}=(3,-1,2). Para isso vamos usar a definição via determinante de ordem 3, que nos dá cada componente do vetor resultante.

Passo 2

Escrevemos o produto vetorial como determinante em função dos versores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\vec{u}\times\vec{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix}.

Passo 3

Desenvolvendo pela primeira linha, obtemos
\vec{u}\times\vec{v} = \mathbf{i}\,(1\cdot2 - 1\cdot(-1)) - \mathbf{j}\,(0\cdot2 - 1\cdot3) + \mathbf{k}\,(0\cdot(-1) - 1\cdot3).
Agora calculamos cada detalhe:
  1. Componente em \mathbf{i}: 1\cdot2 - 1\cdot(-1)=2+1=3.
  2. Componente em \mathbf{j}: 0\cdot2 - 1\cdot3=0-3=-3, mas vem com sinal “-”, então fica +3.
  3. Componente em \mathbf{k}: 0\cdot(-1) - 1\cdot3=0-3=-3.

Resposta

\vec{u}\times\vec{v} = (3,\,3,\,-3).

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