Exercício 28. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{4}+5 x^{3}-4 x}{-x^{3}+3 x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{4}+5x^{3}-4x}{-x^{3}+3x+1}.
O conteúdo é o estudo de limite no infinito de uma função racional, onde vamos comparar os graus do polinômio do numerador e do denominador e, em seguida, dividir tudo pela maior potência de x que aparece no denominador.

Passo 2

Identificamos o grau de cada polinômio:
  • O numerador x^{4}+5x^{3}-4x tem grau 4.
  • O denominador -x^{3}+3x+1 tem grau 3.
    Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite em +\infty tende a \pm\infty. Para determinar o sinal, vamos reescrever a expressão dividindo numerador e denominador por x^{3}.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{3}, obtemos
\frac{x^{4}+5x^{3}-4x}{-x^{3}+3x+1} = \frac{x + 5 - \tfrac{4}{x^{2}}}{-1 + \tfrac{3}{x^{2}} + \tfrac{1}{x^{3}}}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento de cada termo quando x\to+\infty:
  • \tfrac{4}{x^{2}}\to0,
  • \tfrac{3}{x^{2}}\to0,
  • \tfrac{1}{x^{3}}\to0.
    Logo, para x muito grande, o quociente aproxima–se de
\frac{x+5}{-1} = -\bigl(x+5\bigr),
e como x+5\to+\infty, temos -\bigl(x+5\bigr)\to-\infty.

Resposta

-\infty

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