Exercício 24 - Seja S a superfície do \mathbb{R}^{3} dada pela equação de segundo grau
x^{2}-y^{2}+z^{2}=0
(a) Determine os pontos de interseção da superfície S com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos y=k, k \in \mathbb{R}, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de S.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a superfície
x^{2} - y^{2} + z^{2} = 0
em \mathbb{R}^{3}.
(a) Pedem os pontos em que ela cruza cada eixo coordenado.
(b) Pedem os traços – isto é, as curvas de interseção – da superfície com os planos x=0, y=0 e z=0.
(c) Pedem os traços com cada plano y = k, para k\in\mathbb{R}.
(d) Usar tudo isso para esboçar a forma geral de S.
Para isso, vamos usar que interseção com um eixo se obtém fixando duas coordenadas em zero, e que traço com um plano se obtém fixando uma coordenada a um valor constante e estudando a equação resultante em duas variáveis.

Passo 2

(a) Interseção com os eixos coordenados.
Para o eixo x temos y=0 e z=0, então
x^{2}=0\implies x=0,
logo o único ponto é (0,0,0).
De modo análogo, no eixo y (com x=0, z=0) vem -y^{2}=0\implies y=0, e no eixo z (com x=0, y=0) vem z^{2}=0\implies z=0.
Em todos os casos a interseção é somente o ponto (0,0,0).

Passo 3

(b) Traços nos planos coordenados.
No plano x=0 a equação fica
-y^{2}+z^{2}=0\implies z^{2}=y^{2}\implies z=\pm y,
ou seja, duas retas passando pela origem no plano yz.
No plano y=0 vem
x^{2}+z^{2}=0\implies x=0,\;z=0,
que é apenas o ponto (0,0,0).
No plano z=0 a equação dá
x^{2}-y^{2}=0\implies x^{2}=y^{2}\implies x=\pm y,
duas retas no plano xy.

Passo 4

(c) Traços nos planos y=k.
Fixando y=k na equação geral obtemos
x^{2}+z^{2}=k^{2}.
Para k\neq 0 isto é um círculo de raio \lvert k\rvert no plano paralelo a xz.
Para k=0 o círculo degenera no ponto (0,0,0).

Passo 5

(d) Esboço de S.
Como em cada plano y=k a seção é um círculo de raio \lvert k\rvert, conforme y aumenta ou diminui os círculos crescem linearmente. Isso caracteriza uma superfície cônica de duas nappes (uma para y\ge0 e outra para y\le0), com vértice em (0,0,0) e eixo ao longo do eixo y.

Resposta

(a) Apenas o ponto (0,0,0) para cada eixo.
(b) Plano x=0: retas z= \pm y. Plane y=0: ponto (0,0,0). Plano z=0: retas x=\pm y.
(c) Para y=k: círculo x^{2}+z^{2}=k^{2} (raio \lvert k\rvert); para k=0 reduz ao ponto (0,0,0).
(d) Superfície dupla de um cone reto com vértice em (0,0,0) e eixo ao longo de y, obtido por círculos de raio \lvert y\rvert no plano y=const.

Exercícios relacionados