Exercício 24 - Seja
a superfície do
dada pela equação de segundo grau
(a) Determine os pontos de interseção da superfície
com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos
, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de
.
(b) Determine e esboce os traços da superfície
(c) Determine e esboce os traços da superfície
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de
Passo 1
O enunciado pede para estudar a superfície
em
.
(a) Pedem os pontos em que ela cruza cada eixo coordenado.
(b) Pedem os traços – isto é, as curvas de interseção – da superfície com os planos ,
e
.
(c) Pedem os traços com cada plano , para
.
(d) Usar tudo isso para esboçar a forma geral de .
Para isso, vamos usar que interseção com um eixo se obtém fixando duas coordenadas em zero, e que traço com um plano se obtém fixando uma coordenada a um valor constante e estudando a equação resultante em duas variáveis.
(a) Pedem os pontos em que ela cruza cada eixo coordenado.
(b) Pedem os traços – isto é, as curvas de interseção – da superfície com os planos
(c) Pedem os traços com cada plano
(d) Usar tudo isso para esboçar a forma geral de
Para isso, vamos usar que interseção com um eixo se obtém fixando duas coordenadas em zero, e que traço com um plano se obtém fixando uma coordenada a um valor constante e estudando a equação resultante em duas variáveis.
Passo 2
(a) Interseção com os eixos coordenados.
Para o eixo temos
e
, então
Para o eixo
logo o único ponto é
.
De modo análogo, no eixo (com
) vem
, e no eixo
(com
) vem
.
Em todos os casos a interseção é somente o ponto .
De modo análogo, no eixo
Em todos os casos a interseção é somente o ponto
Passo 3
(b) Traços nos planos coordenados.
No plano a equação fica
No plano
ou seja, duas retas passando pela origem no plano
.
No plano vem
No plano
que é apenas o ponto
.
No plano a equação dá
No plano
duas retas no plano
.
Passo 4
(c) Traços nos planos
.
Fixando na equação geral obtemos
Fixando
Para
isto é um círculo de raio
no plano paralelo a
.
Para o círculo degenera no ponto
.
Para
Passo 5
(d) Esboço de
.
Como em cada plano a seção é um círculo de raio
, conforme
aumenta ou diminui os círculos crescem linearmente. Isso caracteriza uma superfície cônica de duas nappes (uma para
e outra para
), com vértice em
e eixo ao longo do eixo
.
Como em cada plano
Resposta
(a) Apenas o ponto
para cada eixo.
(b) Plano : retas
. Plane
: ponto
. Plano
: retas
.
(c) Para : círculo
(raio
); para
reduz ao ponto
.
(d) Superfície dupla de um cone reto com vértice em e eixo ao longo de
, obtido por círculos de raio
no plano
const.
(b) Plano
(c) Para
(d) Superfície dupla de um cone reto com vértice em