Exercício 28 - Identifique e descreva a superfície do \mathbb{R}^{3} dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
x^{2}-9 y^{2}+z^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para identificar e descrever a superfície do \mathbb{R}^3 dada por
x^{2}-9y^{2}+z^{2}=9.
O conteúdo é classificação de quádricas em \mathbb{R}^3. Para resolver, vamos reescrever em forma canônica e analisar o sinal dos termos quadráticos.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por 9 para obter a forma padrão:
\frac{x^{2}}{9} \;+\;\frac{z^{2}}{9}\;-\;y^{2}\;=\;1.

Passo 3

Na equação
\frac{x^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{9}-y^{2}=1
vemos dois termos com coeficiente positivo e um com coeficiente negativo. Isso caracteriza uma hiperbolóide de uma folha. O eixo principal é a direção em que aparece o termo negativo, ou seja, o eixo y.

Passo 4

Analisando cortes:
  1. Plano y=0:
\frac{x^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{9}=1
é uma circunferência de raio 3 no plano xz.
2. Plano y=y_{0}:
\frac{x^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{9}=1+y_{0}^{2},
é uma elipse (no caso 1+y_{0}^{2}>1, mas como os dois eixos da elipse são iguais, continua sendo uma circunferência de raio \sqrt{9(1+y_{0}^{2})}). O raio cresce conforme |y_{0}| aumenta.
3. Plano x=x_{0} (ou z=z_{0}) dá hipérboles, mostrando que o corpo “abre” ao longo do eixo y.

Passo 5

Para esboçar:
  • Desenhe o eixo y vertical.
  • No plano y=0, faça um círculo de raio 3.
  • Acima e abaixo, em y=\pm1, desenhe círculos de raio \sqrt{18}, e em y=\pm2 círculos de raio \sqrt{45}.
  • Una esses contornos por superfícies suaves, formando um “cilindro oval” que se expande ao subir e desce simetricamente.

Resposta

A superfície é uma hiperbolóide de uma folha centrada na origem, com eixo ao longo do eixo y.

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