Exercício 28 - Identifique e descreva a superfície do
dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
.
Passo 1
O enunciado pede para identificar e descrever a superfície do
dada por
O conteúdo é classificação de quádricas em
. Para resolver, vamos reescrever em forma canônica e analisar o sinal dos termos quadráticos.
Passo 2
Dividimos ambos os lados por
para obter a forma padrão:
Passo 3
Na equação
vemos dois termos com coeficiente positivo e um com coeficiente negativo. Isso caracteriza uma hiperbolóide de uma folha. O eixo principal é a direção em que aparece o termo negativo, ou seja, o eixo
.
Passo 4
Analisando cortes:
- Plano
:
é uma circunferência de raio
no plano
.
2. Plano :
2. Plano
é uma elipse (no caso
, mas como os dois eixos da elipse são iguais, continua sendo uma circunferência de raio
). O raio cresce conforme
aumenta.
3. Plano (ou
) dá hipérboles, mostrando que o corpo “abre” ao longo do eixo
.
3. Plano
Passo 5
Para esboçar:
- Desenhe o eixo
vertical. - No plano
, faça um círculo de raio . - Acima e abaixo, em
, desenhe círculos de raio , e em círculos de raio . - Una esses contornos por superfícies suaves, formando um “cilindro oval” que se expande ao subir e desce simetricamente.
Resposta
A superfície é uma hiperbolóide de uma folha centrada na origem, com eixo ao longo do eixo
.