Exercício 4.10 (Resolvido) Um recipiente cheio de água com a forma de um cone invertido (vértice para baixo e base para cima) está sendo esvaziado pelo vértice a uma taxa de
(litros por minuto). A altura do cone é de 10 m e o raio de sua base é de 5 m . Encontre a velocidade (
) com que o nível da água está abaixando quando sua altura for de 2 m .
(obs.: 1 metro cúbico equivale a 1000 litros)
(obs.: 1 metro cúbico equivale a 1000 litros)
Passo 1
O enunciado dá um cone invertido de altura
e raio da base
, que está sendo esvaziado a uma taxa de
. Queremos a velocidade
com que a altura da água
diminui quando
. O conteúdo necessário é taxa de variação relacionada, usando o volume de um cone e semelhança de triângulos.
Passo 2
Para escrever
em função de
, usamos semelhança de triângulos:
Então o volume de água é
Passo 3
Derivando em relação ao tempo
:
Passo 4
Convertendo a vazão de litros para
:
e como o volume diminui,
. Quando
,
Passo 5
Para efeito de valor aproximado,
Resposta
A altura do nível da água está diminuindo à velocidade
quando
.