Exercício 4.10 (Resolvido) Um recipiente cheio de água com a forma de um cone invertido (vértice para baixo e base para cima) está sendo esvaziado pelo vértice a uma taxa de 500 \mathrm{l} / \mathrm{min} (litros por minuto). A altura do cone é de 10 m e o raio de sua base é de 5 m . Encontre a velocidade ( \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{min} ) com que o nível da água está abaixando quando sua altura for de 2 m .
(obs.: 1 metro cúbico equivale a 1000 litros)

Passo 1

O enunciado dá um cone invertido de altura 10\,\text{m} e raio da base 5\,\text{m}, que está sendo esvaziado a uma taxa de 500\,\text{l/min}. Queremos a velocidade \,dh/dt com que a altura da água h diminui quando h=2\,\text{m}. O conteúdo necessário é taxa de variação relacionada, usando o volume de um cone e semelhança de triângulos.

Passo 2

Para escrever V em função de h, usamos semelhança de triângulos:
\frac{r}{h}=\frac{5}{10}=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad r=\frac{h}{2}.
Então o volume de água é
V=\frac{1}{3}\pi r^2h =\frac{1}{3}\pi\Bigl(\frac{h}{2}\Bigr)^2h =\frac{\pi}{12}\,h^3.

Passo 3

Derivando em relação ao tempo t:
\frac{dV}{dt} =\frac{\pi}{12}\cdot3h^2\frac{dh}{dt} =\frac{\pi}{4}\,h^2\frac{dh}{dt}.

Passo 4

Convertendo a vazão de litros para \text{m}^3:
500\,\text{l/min}=0,5\,\text{m}^3/\min,
e como o volume diminui, \,dV/dt=-0,5\,\text{m}^3/\min. Quando h=2\,\text{m},
-0,5 =\frac{dV}{dt} =\frac{\pi}{4}\,(2)^2\frac{dh}{dt} =\pi\,\frac{dh}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dh}{dt} =-\frac{0,5}{\pi}\,\text{m/min}.

Passo 5

Para efeito de valor aproximado,
\frac{dh}{dt}\approx -\frac{0,5}{3,1416}\approx -0,159\,\text{m/min}.

Resposta

A altura do nível da água está diminuindo à velocidade
\frac{dh}{dt}=-\frac{0,5}{\pi}\approx -0,159\;\text{m/min}
quando h=2\,\text{m}.

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