Exercício 4.29 Encontre as assíntotas dos gráficos das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as assíntotas do gráfico da função
f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-1},
cujo domínio natural é \mathbb{R}\setminus\{1\}. Vamos determinar
  1. a assíntota vertical (onde o denominador zera e o numerador não),
  2. a assíntota oblíqua (fazendo divisão de polinômios e examinando o comportamento para x\to\pm\infty).

Passo 2

Para a assíntota vertical, analisamos onde o denominador se anula:
x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=1.
Como x=1 não está no domínio e o numerador em x=1 vale (1)^{2}-4=-3\neq0, temos
\lim_{x\to1^\pm}f(x)=\pm\infty,
logo existe assíntota vertical em x=1.

Passo 3

Para a assíntota oblíqua, fazemos divisão de polinômios de x^{2}-4 por x-1:
\frac{x^{2}-4}{x-1} = x+1+\frac{-3}{x-1},
pois (x-1)(x+1)=x^{2}-1 e sobra -3.

Passo 4

Como \displaystyle\frac{-3}{x-1}\to0 quando x\to\pm\infty, o termo dominante de f(x) é x+1. Assim, a assíntota oblíqua é
y = x+1.

Resposta

Assíntota vertical: x=1
Assíntota oblíqua: y = x+1

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