O que é pedido: determinar o intervalo de convergência — ou seja, para quais valores reais de x essa série converge.
Informações relevantes que temos do enunciado:
O índice de soma é n=1,2,3,\dots.
O termo geral da série é \displaystyle u_n(x)=\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}\,x^{2n-1}.
É uma série em potências de x centrada em 0 (só aparecem potências ímpares de x).
Passo 2
Vou usar o Teste da Razão (ratio test) para séries com parâmetro x. Vou apresentar o teste antes de aplicar:
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
No nosso caso u_n depende de x, então L será uma função de x. Se conseguirmos mostrar que L<1 para todo x (ou que L=0 por exemplo), então a série converge para todo x.
Passo 3
Calcular explicitamente a razão dos termos para a nossa série. Tomando u_n(x)=\dfrac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}\,x^{2n-1}, temos
Como (2n+1)(2n)\to\infty quando n\to\infty, o limite vale
L(x)=0\quad\text{para todo }x.
Passo 4
Interpretação do resultado do Teste da Razão: como L(x)=0<1 para qualquer x\in\mathbb{R}, a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}. Convergência absoluta implica convergência simples, portanto a série converge para todos os números reais. Em termos de raio de convergência, isso significa que o raio é infinito.
Passo 5
Comentário adicional (útil na prova): fazendo a mudança de índice k=n-1 obtemos
que é exatamente a série de Taylor da função \sin x. Isso confirma que a soma é bem definida para todos x\in\mathbb{R} (na verdade para todo x\in\mathbb{C}), reforçando que o intervalo de convergência é todo o eixo real.
Resposta
A série converge para todo x\in\mathbb{R}. Ou seja, o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).