Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{(2 n-1)!} x^{2 n-1}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}\,x^{2n-1}.
O que é pedido: determinar o intervalo de convergência — ou seja, para quais valores reais de x essa série converge.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • O índice de soma é n=1,2,3,\dots.
  • O termo geral da série é \displaystyle u_n(x)=\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}\,x^{2n-1}.
  • É uma série em potências de x centrada em 0 (só aparecem potências ímpares de x).

Passo 2

Vou usar o Teste da Razão (ratio test) para séries com parâmetro x. Vou apresentar o teste antes de aplicar:
  • Para uma série de termos u_n, defina
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|.
  • Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
    No nosso caso u_n depende de x, então L será uma função de x. Se conseguirmos mostrar que L<1 para todo x (ou que L=0 por exemplo), então a série converge para todo x.

Passo 3

Calcular explicitamente a razão dos termos para a nossa série. Tomando u_n(x)=\dfrac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}\,x^{2n-1}, temos
\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right| =\left|\frac{(-1)^{(n+1)+1}}{(2(n+1)-1)!}\,x^{2(n+1)-1}\cdot \frac{(2n-1)!}{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}\right|.
Simplificando os sinais e as potências de x,
\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right| =\frac{|x|^{2}}{(2n+1)(2n)}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2n+1)(2n)}.
Como (2n+1)(2n)\to\infty quando n\to\infty, o limite vale
L(x)=0\quad\text{para todo }x.

Passo 4

Interpretação do resultado do Teste da Razão: como L(x)=0<1 para qualquer x\in\mathbb{R}, a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}. Convergência absoluta implica convergência simples, portanto a série converge para todos os números reais. Em termos de raio de convergência, isso significa que o raio é infinito.

Passo 5

Comentário adicional (útil na prova): fazendo a mudança de índice k=n-1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}x^{2n-1} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1},
que é exatamente a série de Taylor da função \sin x. Isso confirma que a soma é bem definida para todos x\in\mathbb{R} (na verdade para todo x\in\mathbb{C}), reforçando que o intervalo de convergência é todo o eixo real.

Resposta

A série converge para todo x\in\mathbb{R}. Ou seja, o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

Exercícios relacionados