Exercício 28. Prove por indução que para todo n \in \mathbb{N} :
2^{n}>n
Identifique o uso da regra da adição na desigualdade.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Provar por indução que para todo n \in \mathbb{N} vale
2^{n}>n.
  • Identificar onde foi usado a regra da adição nas desigualdades do argumento.
Informações dadas (explicitamente): a desigualdade a ser demonstrada para todo n\in\mathbb{N}. Não há outros dados numéricos a extrair.

Passo 2

Explicação do método (princípio da indução) de forma bem didática. Indução matemática funciona em duas etapas:
  • Base (ou caso base): verificar que a propriedade é verdadeira para o primeiro valor de n (por exemplo n=1). Isso serve para “acender a primeira vela”.
  • Passo indutivo: assumir que a propriedade é verdadeira para um certo k (essa suposição chama-se hipótese de indução) e, a partir dela, deduzir que a propriedade vale para k+1. Se esse passo for bem feito, a propriedade “propaga” a partir do caso base para todos os naturais.
Aqui vou tomar o caso base n=1 (se a sua convenção de \mathbb{N} inclui 0, a prova adapta-se facilmente, e eu comento isso lá no final).

Passo 3

Base da indução. Verificar para n=1:
2^{1}=2>1,
logo a propriedade é verdadeira em n=1.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que, para algum k\in\mathbb{N} com k\ge1, valha a hipótese de indução
2^{k}>k.
Aqui a explicação: isso significa que estamos assumindo que a desigualdade é verdadeira para um certo inteiro k; nosso objetivo é provar que então ela também vale para k+1.

Passo 5

Indução — passo para k+1. Começamos a partir da hipótese 2^{k}>k. Agora vamos transformar essa desigualdade para obter algo sobre 2^{k+1}.
Primeira manipulação (uso explícito da regra da adição): somamos 2^{k} aos dois lados da desigualdade 2^{k}>k. A regra da adição diz: se a>b e c é qualquer número real, então a+c>b+c. Aplicando com a=2^{k}, b=k e c=2^{k} obtemos
2^{k}+2^{k}>k+2^{k}.
Como 2^{k}+2^{k}=2\cdot 2^{k}=2^{k+1}, isso dá
2^{k+1}>k+2^{k}.
Observação didática sobre a regra: somar a mesma quantidade nos dois membros preserva a desigualdade; é exatamente aí que “a regra da adição” entra na prova (mais detalhes na etapa seguinte).

Passo 6

Continuando o encadeamento para chegar a k+1. Para completar o passo indutivo precisamos mostrar que o membro direito da desigualdade anterior é pelo menos k+1, isto é, queremos comparar k+2^{k} com k+1.
Note que para k\ge1 temos 2^{k}\ge 2. Então
k+2^{k}\ge k+2>k+1.
Juntando com a desigualdade obtida no passo anterior, por transitividade (se A>B e B\ge C então A>C) temos
2^{k+1}>k+2^{k}\ge k+2>k+1,
portanto em particular
2^{k+1}>k+1.
Isso completa o passo indutivo: a hipótese 2^{k}>k implica 2^{k+1}>k+1.

Passo 7

Conclusão final da indução. Como a propriedade é verdadeira para n=1 (Passo 3) e o passo indutivo foi demonstrado (Passos 5–6), pelo princípio da indução concluímos que para todo n\in\mathbb{N} com n\ge1 vale
2^{n}>n.
Comentário final sobre a convenção de \mathbb{N}: se a sua \mathbb{N} inclui o 0, basta verificar o caso base n=0: 2^{0}=1>0, e a prova do passo indutivo acima funciona também começando em k=0 (na parte em que usei 2^{k}\ge1 em vez de 2^{k}\ge2). Portanto em qualquer convenção usual a desigualdade fica provada.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N} com n\ge1, 2^{n}>n.
A regra da adição foi usada ao somar 2^{k} em ambos os lados da hipótese indutiva 2^{k}>k, obtendo 2^{k}+2^{k}>k+2^{k}, i.e. 2^{k+1}>k+2^{k}.

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