Exercício 28. Prove por indução que para todo
:
Identifique o uso da regra da adição na desigualdade.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Provar por indução que para todo
vale
- Identificar onde foi usado a regra da adição nas desigualdades do argumento.
Informações dadas (explicitamente): a desigualdade a ser demonstrada para todo
. Não há outros dados numéricos a extrair.
Passo 2
Explicação do método (princípio da indução) de forma bem didática. Indução matemática funciona em duas etapas:
- Base (ou caso base): verificar que a propriedade é verdadeira para o primeiro valor de
(por exemplo ). Isso serve para “acender a primeira vela”. - Passo indutivo: assumir que a propriedade é verdadeira para um certo
(essa suposição chama-se hipótese de indução) e, a partir dela, deduzir que a propriedade vale para . Se esse passo for bem feito, a propriedade “propaga” a partir do caso base para todos os naturais.
Aqui vou tomar o caso base
(se a sua convenção de
inclui
, a prova adapta-se facilmente, e eu comento isso lá no final).
Passo 3
Base da indução. Verificar para
:
logo a propriedade é verdadeira em
.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que, para algum
com
, valha a hipótese de indução
Aqui a explicação: isso significa que estamos assumindo que a desigualdade é verdadeira para um certo inteiro
; nosso objetivo é provar que então ela também vale para
.
Passo 5
Indução — passo para
. Começamos a partir da hipótese
. Agora vamos transformar essa desigualdade para obter algo sobre
.
Primeira manipulação (uso explícito da regra da adição): somamos
aos dois lados da desigualdade
. A regra da adição diz: se
e
é qualquer número real, então
. Aplicando com
,
e
obtemos
Como
, isso dá
Observação didática sobre a regra: somar a mesma quantidade nos dois membros preserva a desigualdade; é exatamente aí que “a regra da adição” entra na prova (mais detalhes na etapa seguinte).
Passo 6
Continuando o encadeamento para chegar a
. Para completar o passo indutivo precisamos mostrar que o membro direito da desigualdade anterior é pelo menos
, isto é, queremos comparar
com
.
Note que para
temos
. Então
Juntando com a desigualdade obtida no passo anterior, por transitividade (se
e
então
) temos
portanto em particular
Isso completa o passo indutivo: a hipótese
implica
.
Passo 7
Conclusão final da indução. Como a propriedade é verdadeira para
(Passo 3) e o passo indutivo foi demonstrado (Passos 5–6), pelo princípio da indução concluímos que para todo
com
vale
Comentário final sobre a convenção de
: se a sua
inclui o
, basta verificar o caso base
:
, e a prova do passo indutivo acima funciona também começando em
(na parte em que usei
em vez de
). Portanto em qualquer convenção usual a desigualdade fica provada.
Resposta
Para todo
com
,
.
A regra da adição foi usada ao somar
em ambos os lados da hipótese indutiva
, obtendo
, i.e.
.