Exercício 32. Prove por indução que para todo n \in \mathbb{N} :
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}
Identifique o uso de instanciação universal no passo indutivo.

Passo 1

O enunciado pede que se prove, para todo n \in \mathbb{N}, a igualdade
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}.
Informações relevantes dadas:
  • A soma é a soma dos primeiros n termos da sequência a_k=\dfrac{1}{k(k+1)}.
  • O objetivo é provar a identidade para todo n natural.
  • Além da prova por indução, é solicitado identificar onde ocorre a instanciação universal no passo indutivo.

Passo 2

Escolha do método: usar prova por indução matemática. Rápida lembrança do princípio de indução (em linguagem simples):
  • Mostrar a base: P(1) é verdadeira.
  • Mostrar o passo indutivo: assumir P(n) (hipótese indutiva) para um n arbitrário e provar P(n+1).
    Se ambos são verdadeiros, então P(n) vale para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 3

Base da indução ( n=1). Calcular os dois lados:
\sum_{k=1}^{1}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2}.
E o lado direito:
\frac{n}{n+1}\Big|_{n=1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Portanto P(1) é verdadeira, porque \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Formulação da hipótese indutiva. Suponha que para um n fixo e arbitrário em \mathbb{N} valha
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}.
Esta suposição é a hipótese indutiva (HI). Nota: dizemos “fixo e arbitrário” para enfatizar que a prova de P(n+1) não depende de um n especial, mas sim de um n genérico.

Passo 5

Passo indutivo: provar P(n+1). Começamos escrevendo a soma até n+1 como soma até n mais o termo (n+1)-ésimo:
\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)}=\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}\right)+\frac{1}{(n+1)(n+2)}.
Agora aplicamos a hipótese indutiva para substituir a soma parcial pela forma dada pela HI. Explicitamente fazemos
\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}\right)=\frac{n}{n+1}.
Essa substituição é onde usamos a hipótese indutiva. Após substituir, obtemos
\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}.

Passo 6

Continuação do cálculo algébrico (detalhando as frações passo a passo). Colocando em denominador comum (n+1)(n+2):
\frac{n}{n+1}=\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)}, \qquad \frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}.
Somando:
\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}.
Calcule o numerador:
n(n+2)+1 = n^2+2n+1=(n+1)^2.
Logo
\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}.
Isto é exatamente a forma \dfrac{n+1}{(n+1)+1}, ou seja, P(n+1) está provada.

Passo 7

Conclusão da indução. Temos P(1) verdadeira e mostramos que P(n)\Rightarrow P(n+1) para n arbitrário. Pelo princípio da indução matemática, a identidade
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}
é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 8

Observação didática (intuição alternativa — telescópica). Para entender por que a soma tem essa forma, pode-se decompor cada termo em frações parciais:
\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1},
pois \dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}=\dfrac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k(k+1)}. Somando de k=1 a n ocorre cancelamento em cascata (telescópico):
\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1},
o que dá a mesma identidade de forma direta e mostra a origem do resultado usado na indução.

Passo 9

Identificação explícita da instanciação universal no passo indutivo:
  • A instanciação universal ocorre quando se toma a hipótese indutiva escrita para um n “arbitrário” e a aplica a esse n específico no cálculo. Concretamente, a instanciação aparece ao substituir
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} \quad\text{por}\quad \frac{n}{n+1}
no passo onde se passa de \sum_{k=1}^{n+1} para a expressão que envolve \frac{n}{n+1}. Essa substituição é a aplicação da hipótese indutiva ao n particular — isto é, uma instanciação do quantificador universal implícito em "para todo n".

Resposta

\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1} para todo n\in\mathbb{N}.
Instanciação universal usada ao aplicar a hipótese indutiva: substituir \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} por \displaystyle \frac{n}{n+1} no passo indutivo.

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