Exercício 32. Prove por indução que para todo n \in \mathbb{N} :
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}
Identifique o uso de instanciação universal no passo indutivo.
Passo 1
O enunciado pede que se prove, para todo n \in \mathbb{N}, a igualdade
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}.
Informações relevantes dadas:
A soma é a soma dos primeiros n termos da sequência a_k=\dfrac{1}{k(k+1)}.
O objetivo é provar a identidade para todo n natural.
Além da prova por indução, é solicitado identificar onde ocorre a instanciação universal no passo indutivo.
Passo 2
Escolha do método: usar prova por indução matemática. Rápida lembrança do princípio de indução (em linguagem simples):
Mostrar a base: P(1) é verdadeira.
Mostrar o passo indutivo: assumir P(n) (hipótese indutiva) para um n arbitrário e provar P(n+1).
Se ambos são verdadeiros, então P(n) vale para todo n\in\mathbb{N}.
Portanto P(1) é verdadeira, porque \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}.
Passo 4
Formulação da hipótese indutiva. Suponha que para um n fixo e arbitrário em \mathbb{N} valha
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}.
Esta suposição é a hipótese indutiva (HI). Nota: dizemos “fixo e arbitrário” para enfatizar que a prova de P(n+1) não depende de um n especial, mas sim de um n genérico.
Passo 5
Passo indutivo: provar P(n+1). Começamos escrevendo a soma até n+1 como soma até n mais o termo (n+1)-ésimo:
Isto é exatamente a forma \dfrac{n+1}{(n+1)+1}, ou seja, P(n+1) está provada.
Passo 7
Conclusão da indução. Temos P(1) verdadeira e mostramos que P(n)\Rightarrow P(n+1) para n arbitrário. Pelo princípio da indução matemática, a identidade
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}
é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.
Passo 8
Observação didática (intuição alternativa — telescópica). Para entender por que a soma tem essa forma, pode-se decompor cada termo em frações parciais:
\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1},
pois \dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}=\dfrac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k(k+1)}. Somando de k=1 a n ocorre cancelamento em cascata (telescópico):
o que dá a mesma identidade de forma direta e mostra a origem do resultado usado na indução.
Passo 9
Identificação explícita da instanciação universal no passo indutivo:
A instanciação universal ocorre quando se toma a hipótese indutiva escrita para um n “arbitrário” e a aplica a esse n específico no cálculo. Concretamente, a instanciação aparece ao substituir
no passo onde se passa de \sum_{k=1}^{n+1} para a expressão que envolve \frac{n}{n+1}. Essa substituição é a aplicação da hipótese indutiva ao n particular — isto é, uma instanciação do quantificador universal implícito em "para todo n".
Resposta
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1} para todo n\in\mathbb{N}.
Instanciação universal usada ao aplicar a hipótese indutiva: substituir \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} por \displaystyle \frac{n}{n+1} no passo indutivo.