Exercício 29: Para cada uma das expressões abaixo, verifique se são função de probabilidade. Caso não sejam, indique se uma multiplicação por alguma constante poderia torná-las função de probabilidade.
.
Passo 1
O enunciado dá a função definida nos pontos
:
As perguntas são:
- Verificar se essa expressão é uma função de probabilidade (isto é, um PMF).
- Caso não seja, indicar se existe uma constante pela qual podemos multiplicá-la para tornar uma função de probabilidade, e qual seria essa constante (e a nova função).
Passo 2
Lembrete prático (mini-aula): o que é uma função de probabilidade discreta (PMF)?
Uma função definida em valores discretos de
é uma PMF se satisfaz duas condições:
Uma função
- Não-negatividade:
para todo do domínio. - Normalização: a soma de todas as probabilidades é
, ou seja,
Aqui vou verificar essas duas condições passo a passo.
Passo 3
Verificação da não-negatividade.
Para cada dado temos
. Como
são positivos, cada
é positivo. Então a condição de não-negatividade está satisfeita:
Para cada
Passo 4
Verificação da normalização (soma das probabilidades).
Calculo a soma
Calculo a soma
Agora somo os inteiros de
a
:
Portanto
Como a soma é
, que não é
, a condição de normalização não é satisfeita.
Passo 5
Conclusão parcial: a função original NÃO é uma função de probabilidade, porque embora seja não-negativa, a soma das probabilidades vale
.
Passo 6
Agora: será que podemos multiplicar por uma constante
para normalizar? Estratégia (mini-aula rápida): se temos uma função não-negativa
com soma
, então a função
é uma PMF, pois soma 1. Equivalente: procurar
tal que
Já calculamos
. Então devemos resolver
Passo 7
Calculo de
. Resolvo a equação
Portanto multiplicar a função original por
normaliza a soma para
.
Passo 8
Escrevo a nova função normalizada explicitamente. Multiplicando
por
obtenho
Verificação rápida:
e todos os
são não-negativos, logo é uma PMF válida.
Resposta
Não — não é função de probabilidade, pois
.
Multiplicando por obtemos a função de probabilidade
para
.
Multiplicando por