Exercício 29: Para cada uma das expressões abaixo, verifique se são função de probabilidade. Caso não sejam, indique se uma multiplicação por alguma constante poderia torná-las função de probabilidade.
p(x)=\frac{x}{20}, \quad x=1,2,3,4,5.

Passo 1

O enunciado dá a função definida nos pontos x=1,2,3,4,5:
p(x)=\frac{x}{20},\quad x=1,2,3,4,5.
As perguntas são:
  1. Verificar se essa expressão é uma função de probabilidade (isto é, um PMF).
  2. Caso não seja, indicar se existe uma constante pela qual podemos multiplicá-la para tornar uma função de probabilidade, e qual seria essa constante (e a nova função).

Passo 2

Lembrete prático (mini-aula): o que é uma função de probabilidade discreta (PMF)?
Uma função p definida em valores discretos de x é uma PMF se satisfaz duas condições:
  1. Não-negatividade: \,p(x)\ge 0 para todo x do domínio.
  2. Normalização: a soma de todas as probabilidades é 1, ou seja,
\sum_{x} p(x)=1.
Aqui vou verificar essas duas condições passo a passo.

Passo 3

Verificação da não-negatividade.
Para cada x dado temos p(x)=\dfrac{x}{20}. Como x=1,2,3,4,5 são positivos, cada p(x) é positivo. Então a condição de não-negatividade está satisfeita:
p(1)=\frac{1}{20},\quad p(2)=\frac{2}{20},\quad p(3)=\frac{3}{20},\quad p(4)=\frac{4}{20},\quad p(5)=\frac{5}{20}.

Passo 4

Verificação da normalização (soma das probabilidades).
Calculo a soma
\sum_{x=1}^{5} p(x)=\sum_{x=1}^{5}\frac{x}{20}=\frac{1}{20}\sum_{x=1}^{5} x.
Agora somo os inteiros de 1 a 5:
\sum_{x=1}^{5} x = 1+2+3+4+5 = 15.
Portanto
\sum_{x=1}^{5} p(x)=\frac{1}{20}\cdot 15=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}=0{,}75.
Como a soma é \dfrac{3}{4}, que não é 1, a condição de normalização não é satisfeita.

Passo 5

Conclusão parcial: a função original NÃO é uma função de probabilidade, porque embora seja não-negativa, a soma das probabilidades vale \dfrac{3}{4}\neq 1.

Passo 6

Agora: será que podemos multiplicar por uma constante c para normalizar? Estratégia (mini-aula rápida): se temos uma função não-negativa q(x) com soma S=\sum_x q(x)>0, então a função p(x)=\dfrac{q(x)}{S} é uma PMF, pois soma 1. Equivalente: procurar c tal que
c\sum_{x=1}^{5} p(x)=1.
Já calculamos \sum_{x=1}^{5} p(x)=\dfrac{3}{4}. Então devemos resolver
c\cdot \frac{3}{4}=1.

Passo 7

Calculo de c. Resolvo a equação
c\cdot \frac{3}{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{1}{3/4}=\frac{4}{3}.
Portanto multiplicar a função original por c=\dfrac{4}{3} normaliza a soma para 1.

Passo 8

Escrevo a nova função normalizada explicitamente. Multiplicando p(x)=\dfrac{x}{20} por c=\dfrac{4}{3} obtenho
p_{\text{novo}}(x)=\frac{4}{3}\cdot\frac{x}{20}=\frac{4x}{60}=\frac{x}{15},\quad x=1,2,3,4,5.
Verificação rápida:
\sum_{x=1}^{5} \frac{x}{15}=\frac{1}{15}\cdot 15=1,
e todos os p_{\text{novo}}(x) são não-negativos, logo é uma PMF válida.

Resposta

Não — não é função de probabilidade, pois \sum_{x=1}^{5}p(x)=\tfrac{3}{4}\neq 1.
Multiplicando por \tfrac{4}{3} obtemos a função de probabilidade p(x)=\dfrac{x}{15} para x=1,2,3,4,5.

Exercícios relacionados