Exercício 29: Para cada uma das expressões abaixo, verifique se são função de probabilidade. Caso não sejam, indique se uma multiplicação por alguma constante poderia torná-las função de probabilidade.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede que verifiquemos se isso é uma função de probabilidade. Se não for, pergunta também se existe uma constante que, multiplicando essa sequência, a transforme numa função de probabilidade.
Informações relevantes: a fórmula de e o domínio discreto
. A pergunta é apenas verificar as condições de função de probabilidade e, se necessário, indicar normalização por constante.
Informações relevantes: a fórmula de
Passo 2
Para uma sequência discreta
ser uma função de probabilidade (ou massa de probabilidade) devemos checar duas condições:
- Não-negatividade: para todo
do domínio, . Expliquei: probabilidades não podem ser negativas, então cada termo deve ser . - Soma total igual a 1:
. Expliquei: a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve valer .
Passo 3
Verificando a não-negatividade. Para todo
temos
pois uma potência de
é sempre positiva. Portanto a condição de não-negatividade está satisfeita.
Passo 4
Verificando a soma total. Precisamos calcular
Iremos usar a soma da série geométrica. Em geral, para
,
Aqui
. Uma derivação curta da fórmula: seja
. Multiplicando por
temos
. Subtraindo,
Tomando
e usando
, obtemos
. Aplicando com
,
Portanto a soma total é exatamente
.
Passo 5
Conclusão didática e comentário sobre normalização: já vimos que
para todo
e que
. Logo todas as condições de função de probabilidade estão satisfeitas. Se a soma tivesse sido diferente de
, a constante de normalização necessária seria
; no nosso caso essa constante é
, ou seja, não é necessário multiplicar por outra constante.
Resposta
Sim.
é uma função de probabilidade.