Exercício 29: Para cada uma das expressões abaixo, verifique se são função de probabilidade. Caso não sejam, indique se uma multiplicação por alguma constante poderia torná-las função de probabilidade.
p(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}, \quad x=1,2, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência
p(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x},\qquad x=1,2,\ldots
e pede que verifiquemos se isso é uma função de probabilidade. Se não for, pergunta também se existe uma constante que, multiplicando essa sequência, a transforme numa função de probabilidade.
Informações relevantes: a fórmula de p(x) e o domínio discreto x=1,2,\dots. A pergunta é apenas verificar as condições de função de probabilidade e, se necessário, indicar normalização por constante.

Passo 2

Para uma sequência discreta p(x) ser uma função de probabilidade (ou massa de probabilidade) devemos checar duas condições:
  1. Não-negatividade: para todo x do domínio, p(x)\ge 0. Expliquei: probabilidades não podem ser negativas, então cada termo deve ser \ge 0.
  2. Soma total igual a 1: \displaystyle\sum_{x} p(x)=1. Expliquei: a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve valer 1.

Passo 3

Verificando a não-negatividade. Para todo x=1,2,\dots temos
p(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}>0,
pois uma potência de \tfrac{1}{2} é sempre positiva. Portanto a condição de não-negatividade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a soma total. Precisamos calcular
S=\sum_{x=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{x}.
Iremos usar a soma da série geométrica. Em geral, para |r|<1,
\sum_{x=1}^{\infty} r^{x}=\frac{r}{1-r}.
Aqui r=\tfrac{1}{2}. Uma derivação curta da fórmula: seja S_n=\sum_{x=1}^{n} r^{x}=r+r^{2}+\cdots+r^{n}. Multiplicando por r temos rS_n=r^{2}+\cdots+r^{n+1}. Subtraindo,
S_n-rS_n = r - r^{n+1} \implies S_n(1-r)=r(1-r^{n}) \implies S_n=\frac{r(1-r^{n})}{1-r}.
Tomando n\to\infty e usando |r|<1\Rightarrow r^{n}\to 0, obtemos \displaystyle\sum_{x=1}^{\infty} r^{x}=\frac{r}{1-r}. Aplicando com r=\tfrac{1}{2},
S=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1.
Portanto a soma total é exatamente 1.

Passo 5

Conclusão didática e comentário sobre normalização: já vimos que p(x)\ge 0 para todo x e que \sum_{x=1}^{\infty}p(x)=1. Logo todas as condições de função de probabilidade estão satisfeitas. Se a soma tivesse sido diferente de 1, a constante de normalização necessária seria c=1/\sum_x p(x); no nosso caso essa constante é c=1, ou seja, não é necessário multiplicar por outra constante.

Resposta

Sim. \;p(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x},\; x=1,2,\dots, é uma função de probabilidade.

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