Exercício 30: Duas bolas são escolhidas aleatoriamente de uma urna contendo 4 bolas azuis, 3 vermelhas e 2 laranjas. Suponha que ganhamos 10 reais para cada bola azul selecionada, ganhamos 1 real para cada bola laranja, porém perdemos 8 reais para cada bola vermelha. Seja
o nosso lucro.
a) Determine a função de probabilidade de
.
b) Obtenha o valor esperado e a variância de
.
a) Determine a função de probabilidade de
b) Obtenha o valor esperado e a variância de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não nos perder):
Duas bolas são escolhidas aleatoriamente (assumimos sem reposição). Os pagamentos são:
Definimos
como o lucro total obtido nas duas bolas escolhidas.
O que o exercício pede:
(a) Determinar a função de probabilidade de (ou seja, listar todos os valores possíveis de
e suas probabilidades).
(b) Calcular o valor esperado e a variância
.
(a) Determinar a função de probabilidade de
(b) Calcular o valor esperado
Passo 2
Primeiro vamos ver quantas maneiras possíveis existem de escolher
bolas da urna (tamanho do espaço amostral). O total de bolas é
O número de maneiras de escolher
bolas sem ordem é dado por combinação:
Vou usar essa contagem como denominador nas probabilidades: cada subconjunto de
bolas tem probabilidade
se contamos maneiras com combinações.
Explicação rápida sobre combinação:
conta quantas formas de escolher
elementos dentre
sem se importar com a ordem. É a fórmula básica de contagem que usaremos para cada par de cores.
Passo 3
Agora contamos, por cor, quantas maneiras geram cada par de cores (a ordem não importa):
- Duas azuis
: escolher das azuis:
- Duas vermelhas
: escolher das vermelhas:
- Duas laranjas
: escolher das laranjas:
- Uma azul e uma laranja
: escolher azul dentre e laranja dentre . Como a ordem não importa, o número de pares é
-
Uma azul e uma vermelha
: . -
Uma laranja e uma vermelha
: .
Confere que a soma das contagens é
, que é o total de
.
Passo 4
Agora transformamos cada par de cores no lucro
correspondente e calculamos as probabilidades (cada contagem dividida por
).
Lucros por par:
Probabilidades (usando as contagens do passo anterior):
Repare que duas combinações diferentes dão o mesmo valor
:
e
. Então a probabilidade de
é a soma das probabilidades desses casos:
Passo 5
Escrevendo a função de probabilidade de
(a pmf), listando cada valor de
e
:
Dica: sempre confira que as probabilidades somam
:
Passo 6
Agora calculamos o valor esperado
. Para uma variável discreta,
Aplicando aos valores que achamos:
Portanto o lucro médio esperado é
reais.]
Passo 7
Como confirmação (e aula rápida), podemos usar linearidade da esperança: escrevemos
em função do número de bolas de cada cor escolhidas. Se
são o número de azuis, laranjas e vermelhas nas duas retiradas, então
Mesmo sem reposição, a esperança de cada contagem é a amostra vezes a proporção na população:
Pela linearidade,
igual ao resultado anterior — bom sinal de consistência.
Passo 8
Agora a variância. Primeiro precisamos de
:
Calculando cada termo:
Somando:
A variância é
Em decimal (útil para interpretação):
(reais ao quadrado).]
Resposta
(a)
(b)