Exercício 30: Duas bolas são escolhidas aleatoriamente de uma urna contendo 4 bolas azuis, 3 vermelhas e 2 laranjas. Suponha que ganhamos 10 reais para cada bola azul selecionada, ganhamos 1 real para cada bola laranja, porém perdemos 8 reais para cada bola vermelha. Seja X o nosso lucro.
a) Determine a função de probabilidade de X.
b) Obtenha o valor esperado e a variância de X.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não nos perder):
\text{Urna: }4\\ \text{bolas azuis},\\\ 3\\ \text{bolas vermelhas},\\\ 2\\ \text{bolas laranjas.}
Duas bolas são escolhidas aleatoriamente (assumimos sem reposição). Os pagamentos são:
\text{cada azul: }+\(10\) \text{ reais},\quad \text{cada laranja: }+\(1\) \text{ real},\quad \text{cada vermelha: }-\(8\) \text{ reais}.
Definimos X como o lucro total obtido nas duas bolas escolhidas.
O que o exercício pede:
(a) Determinar a função de probabilidade de X (ou seja, listar todos os valores possíveis de X e suas probabilidades).
(b) Calcular o valor esperado E[X] e a variância \operatorname{Var}(X).

Passo 2

Primeiro vamos ver quantas maneiras possíveis existem de escolher 2 bolas da urna (tamanho do espaço amostral). O total de bolas é
N = 4+3+2 = 9.
O número de maneiras de escolher 2 bolas sem ordem é dado por combinação:
\binom{9}{2}=\frac{9!}{2!7!}=36.
Vou usar essa contagem como denominador nas probabilidades: cada subconjunto de 2 bolas tem probabilidade \dfrac{1}{36} se contamos maneiras com combinações.
Explicação rápida sobre combinação: \binom{n}{k} conta quantas formas de escolher k elementos dentre n sem se importar com a ordem. É a fórmula básica de contagem que usaremos para cada par de cores.

Passo 3

Agora contamos, por cor, quantas maneiras geram cada par de cores (a ordem não importa):
  • Duas azuis (B,B): escolher 2 das 4 azuis:
\binom{4}{2}=6.
  • Duas vermelhas (R,R): escolher 2 das 3 vermelhas:
\binom{3}{2}=3.
  • Duas laranjas (O,O): escolher 2 das 2 laranjas:
\binom{2}{2}=1.
  • Uma azul e uma laranja (B,O): escolher 1 azul dentre 4 e 1 laranja dentre 2. Como a ordem não importa, o número de pares é
4\times 2 = 8.
  • Uma azul e uma vermelha (B,R): 4\times 3 = 12.
  • Uma laranja e uma vermelha (O,R): 2\times 3 = 6.
Confere que a soma das contagens é 6+3+1+8+12+6=36, que é o total de \binom{9}{2}.

Passo 4

Agora transformamos cada par de cores no lucro X correspondente e calculamos as probabilidades (cada contagem dividida por 36).
Lucros por par:
\begin{aligned} (B,B)&:\\\ 10+10=20,\\\ (B,O)&:\\\ 10+1=11,\\\ (B,R)&:\\\ 10+(-8)=2,\\\ (O,O)&:\\\ 1+1=2,\\\ (O,R)&:\\\ 1+(-8)=-7,\\\ (R,R)&:\\\ -8+(-8)=-16. \end{aligned}
Probabilidades (usando as contagens do passo anterior):
\begin{aligned} P(B,B)&=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6},\\[4pt] P(B,O)&=\dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9},\\[4pt] P(B,R)&=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3},\\[4pt] P(O,O)&=\dfrac{1}{36},\\[4pt] P(O,R)&=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6},\\[4pt] P(R,R)&=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}. \end{aligned}
Repare que duas combinações diferentes dão o mesmo valor X=2: (B,R) e (O,O). Então a probabilidade de X=2 é a soma das probabilidades desses casos:
P(X=2)=P(B,R)+P(O,O)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{12}{36}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{13}{36}.]

Passo 5

Escrevendo a função de probabilidade de X (a pmf), listando cada valor de x e P(X=x):
\begin{aligned} P(X=20)&=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6},\\[4pt] P(X=11)&=\dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9},\\[4pt] P(X=2\;)&=\dfrac{13}{36},\\[4pt] P(X=-7)&=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6},\\[4pt] P(X=-16)&=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}. \end{aligned}
Dica: sempre confira que as probabilidades somam 1:
\dfrac{6+8+13+6+3}{36}=\dfrac{36}{36}=1.]

Passo 6

Agora calculamos o valor esperado E[X]. Para uma variável discreta,
E[X]=\sum_x x\,P(X=x).
Aplicando aos valores que achamos:
\begin{aligned} E[X] &= 20\cdot\dfrac{6}{36} + 11\cdot\dfrac{8}{36} + 2\cdot\dfrac{13}{36} + (-7)\cdot\dfrac{6}{36} + (-16)\cdot\dfrac{3}{36}\\[6pt] &= \dfrac{120 + 88 + 26 - 42 - 48}{36} = \dfrac{144}{36} = 4. \end{aligned}
Portanto o lucro médio esperado é \,E[X]= \,4 reais.]

Passo 7

Como confirmação (e aula rápida), podemos usar linearidade da esperança: escrevemos X em função do número de bolas de cada cor escolhidas. Se B,O,R são o número de azuis, laranjas e vermelhas nas duas retiradas, então
X = 10B + 1\cdot O - 8R.
Mesmo sem reposição, a esperança de cada contagem é a amostra vezes a proporção na população:
E[B]=2\cdot\dfrac{4}{9}=\dfrac{8}{9},\quad E[O]=2\cdot\dfrac{2}{9}=\dfrac{4}{9},\quad E[R]=2\cdot\dfrac{3}{9}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}.
Pela linearidade,
E[X]=10E[B]+1E[O]-8E[R]=10\cdot\dfrac{8}{9}+\dfrac{4}{9}-8\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{80+4-48}{9}=\dfrac{36}{9}=4,
igual ao resultado anterior — bom sinal de consistência.

Passo 8

Agora a variância. Primeiro precisamos de E[X^2]:
E[X^2]=\sum_x x^2 P(X=x).
Calculando cada termo:
\begin{aligned} 20^2\cdot\dfrac{6}{36} &= 400\cdot\dfrac{6}{36}=\dfrac{2400}{36},\\[4pt] 11^2\cdot\dfrac{8}{36} &= 121\cdot\dfrac{8}{36}=\dfrac{968}{36},\\[4pt] 2^2\cdot\dfrac{13}{36} &= 4\cdot\dfrac{13}{36}=\dfrac{52}{36},\\[4pt] (-7)^2\cdot\dfrac{6}{36} &= 49\cdot\dfrac{6}{36}=\dfrac{294}{36},\\[4pt] (-16)^2\cdot\dfrac{3}{36}&=256\cdot\dfrac{3}{36}=\dfrac{768}{36}. \end{aligned}
Somando:
E[X^2]=\dfrac{2400+968+52+294+768}{36}=\dfrac{4482}{36}=\dfrac{249}{2}=124{,}5.
A variância é
\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2 = \dfrac{249}{2} - 4^2 = \dfrac{249}{2} - 16 = \dfrac{249-32}{2}=\dfrac{217}{2}.
Em decimal (útil para interpretação): \operatorname{Var}(X)=108{,}5 (reais ao quadrado).]

Resposta

(a) P(X=20)=\dfrac{1}{6}
P(X=11)=\dfrac{2}{9}
P(X=2)=\dfrac{13}{36}
P(X=-7)=\dfrac{1}{6}
P(X=-16)=\dfrac{1}{12}
(b) E[X]=4
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{217}{2}=108{,}5

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