Exercício 1.29. Mostre, usando contraposição, que
\text { Se } n^{2} \text { for par, então } n \text { é par. }ãé

Passo 1

O enunciado pede que se mostre, usando contraposição, que se n^{2} for par então n é par.
Informações dadas (assumimos a formulação usual):
  • Há uma variável inteira n (ou seja, n\in\mathbb{Z}).
  • Supõe-se que n^{2} é par.
  • Objetivo: provar que n é par.

Passo 2

O que é provar por contraposição? Vou explicar de um jeito direto. Se queremos provar uma implicação
P \Longrightarrow Q,
uma maneira equivalente é provar a contrapositiva
\neg Q \Longrightarrow \neg P.
Isto é, em vez de mostrar que P leva a Q, mostramos que se Q é falso então P também é falso. Provar a contrapositiva vale porque uma afirmação e sua contrapositiva têm exatamente o mesmo valor lógico. Aqui vamos aplicar isso com:
P:\; "\;n^{2}\text{ é par}\;"\qquad\text{e}\qquad Q:\; "\;n\text{ é par}\;".éé
A contrapositiva é
\text{Se } n \text{ é ímpar, então } n^{2}\text{ é ímpar}.éíãéí
Portanto vou provar essa última afirmação; isso será suficiente para concluir o que a questão pede.

Passo 3

Lembrete básico (definições que vamos usar):
  • Dizemos que um inteiro n é par se existe k\in\mathbb{Z} tal que
n=2k.
  • Dizemos que n é ímpar se existe k\in\mathbb{Z} tal que
n=2k+1.
Essas formas arejam a maneira padrão de manipular paridade em provas.

Passo 4

Prova da contrapositiva (passo a passo algébrico): suponha que n seja ímpar. Então, por definição, existe k\in\mathbb{Z} tal que
n=2k+1.
Calculemos n^{2} usando essa expressão:
n^{2}=(2k+1)^{2}.
Expandindo o quadrado:
n^{2}=(2k)^{2}+2\cdot(2k)\cdot 1 + 1^{2}=4k^{2}+4k+1.
Agora agrupamos 4k^{2}+4k como múltiplo de 2:
4k^{2}+4k=2\bigl(2k^{2}+2k\bigr).
Logo
n^{2}=2\bigl(2k^{2}+2k\bigr)+1.
Seja m=2k^{2}+2k. Como k\in\mathbb{Z}, temos m\in\mathbb{Z}. Assim
n^{2}=2m+1,
ou seja, n^{2} tem a forma ímpar. Concluímos que se n é ímpar então n^{2} é ímpar.

Passo 5

Terminando o raciocínio lógico: acabamos de provar a contrapositiva
\text{Se } n\text{ é ímpar, então }n^{2}\text{ é ímpar}.éíãéí
Como a contrapositiva é logicamente equivalente à implicação original, segue que
\text{Se } n^{2}\text{ é par, então }n\text{ é par}.éãé
(Em palavras: não existe inteiro cujo quadrado seja par enquanto o próprio inteiro seja ímpar.)

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar a intuição: n=3 (ímpar) dá n^{2}=9 (ímpar). n=4 (par) dá n^{2}=16 (par). Se encontrar n^{2}=36 (par), então n=\pm 6 (ambos pares), compatível com a prova. Isso ajuda a ver que a propriedade vale tanto para positivos quanto para negativos, pois a definição de paridade vale para todos os inteiros.

Resposta

A afirmação é verdadeira: se n^{2} for par, então n é par.

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