Exercício 1.29. Mostre, usando contraposição, que
Passo 1
O enunciado pede que se mostre, usando contraposição, que se
for par então
é par.
Informações dadas (assumimos a formulação usual):
Informações dadas (assumimos a formulação usual):
- Há uma variável inteira
(ou seja, ). - Supõe-se que
é par. - Objetivo: provar que
é par.
Passo 2
O que é provar por contraposição? Vou explicar de um jeito direto. Se queremos provar uma implicação
uma maneira equivalente é provar a contrapositiva
Isto é, em vez de mostrar que
leva a
, mostramos que se
é falso então
também é falso. Provar a contrapositiva vale porque uma afirmação e sua contrapositiva têm exatamente o mesmo valor lógico. Aqui vamos aplicar isso com:
A contrapositiva é
Portanto vou provar essa última afirmação; isso será suficiente para concluir o que a questão pede.
Passo 3
Lembrete básico (definições que vamos usar):
- Dizemos que um inteiro
é par se existe tal que
- Dizemos que
é ímpar se existe tal que
Essas formas arejam a maneira padrão de manipular paridade em provas.
Passo 4
Prova da contrapositiva (passo a passo algébrico): suponha que
seja ímpar. Então, por definição, existe
tal que
Calculemos
usando essa expressão:
Expandindo o quadrado:
Agora agrupamos
como múltiplo de
:
Logo
Seja
. Como
, temos
. Assim
ou seja,
tem a forma ímpar. Concluímos que se
é ímpar então
é ímpar.
Passo 5
Terminando o raciocínio lógico: acabamos de provar a contrapositiva
Como a contrapositiva é logicamente equivalente à implicação original, segue que
(Em palavras: não existe inteiro cujo quadrado seja par enquanto o próprio inteiro seja ímpar.)
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar a intuição:
(ímpar) dá
(ímpar).
(par) dá
(par). Se encontrar
(par), então
(ambos pares), compatível com a prova. Isso ajuda a ver que a propriedade vale tanto para positivos quanto para negativos, pois a definição de paridade vale para todos os inteiros.
Resposta
A afirmação é verdadeira: se
for par, então
é par.