Exercício 1.28. Explique por que o predicado " x é o maior número real" não pode ser verdadeiro.

Passo 1

O enunciado pergunta por que o predicado " x é o maior número real" não pode ser verdadeiro. As informações e o que é pedido:
  • Dado o conjunto dos números reais \mathbb{R}.
  • O predicado em linguagem matemática pode ser escrito como
P(x):\\ \forall y\in\mathbb{R},\\ y\le x.
  • O que se pede: explicar por que não existe nenhum x\in\mathbb{R} que torne P(x) verdadeiro (isto é, por que não existe “maior número real”).

Passo 2

Entendendo bem o que o predicado diz (explicação dos quantificadores e do significado de “maior”):
  • A expressão \forall y\in\mathbb{R},\\ y\le x significa "para todo número real y, tem-se y\le x". Em palavras: nenhum real é estritamente maior do que x.
  • Para P(x) ser verdadeira para algum x, esse x teria de ser maior ou igual a todo real — seria o máximo do conjunto \mathbb{R}.

Passo 3

Uma propriedade simples e fundamental dos números reais que usaremos (explicação didática):
  • Sabemos que existe o número 1 e que 1>0.
  • Soma preserva desigualdades: se \alpha>\beta então, para qualquer real \gamma, tem-se \alpha+\gamma>\beta+\gamma. Aplicando isso com \alpha=1, \beta=0 e \gamma=x obtemos a desigualdade abaixo.
  • Portanto, para qualquer x\in\mathbb{R},
x+1 > x.
Explicando passo a passo: como 1>0, somando x aos dois lados dá x+1 > x+0, e x+0=x, logo x+1>x. Isso é algo que podemos usar sem necessidade de teoremas avançados.

Passo 4

Prova por contradição de que não existe maior número real (passos claros e diretos):
  • Suponha, para obter contradição, que exista x_0\in\mathbb{R} tal que P(x_0) seja verdadeira, isto é,
\forall y\in\mathbb{R},\\ y\le x_0.
  • Considere o número y = x_0 + 1. Pelas contas do passo anterior temos y = x_0+1 > x_0.
  • Mas a suposição P(x_0) exige que y\le x_0 para todo y\in\mathbb{R}; em particular exigiria x_0+1 \le x_0.
  • Assim obtemos uma contradição: ao mesmo tempo x_0+1 > x_0 e x_0+1 \le x_0. Logo a hipótese de existência de tal x_0 é falsa.

Passo 5

Conclusão lógica e interpretação prática (como usar isso na prova):
  • Concluímos que não existe x\in\mathbb{R} que satisfaça P(x). Em outras palavras, o predicado " x é o maior número real" é falso para todo x\in\mathbb{R}.
  • Maneira rápida de lembrar: dado qualquer x, sempre existe um número maior, por exemplo x+1. Portanto \mathbb{R} não tem máximo; está indefinidamente estendido para cima.
  • Dica de prova em prova: formalize o predicado com \forall, suponha que exista um tal x e use x+1 para contradizer — é curto e direto.

Resposta

O predicado é sempre falso: para todo x\in\mathbb{R} existe y=x+1 tal que y>x, logo não existe maior número real.

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