Exercício 1.28. Explique por que o predicado "
é o maior número real" não pode ser verdadeiro.
Passo 1
O enunciado pergunta por que o predicado "
é o maior número real" não pode ser verdadeiro. As informações e o que é pedido:
- Dado o conjunto dos números reais
. - O predicado em linguagem matemática pode ser escrito como
- O que se pede: explicar por que não existe nenhum
que torne verdadeiro (isto é, por que não existe “maior número real”).
Passo 2
Entendendo bem o que o predicado diz (explicação dos quantificadores e do significado de “maior”):
- A expressão
significa "para todo número real , tem-se ". Em palavras: nenhum real é estritamente maior do que . - Para
ser verdadeira para algum , esse teria de ser maior ou igual a todo real — seria o máximo do conjunto .
Passo 3
Uma propriedade simples e fundamental dos números reais que usaremos (explicação didática):
- Sabemos que existe o número
e que . - Soma preserva desigualdades: se
então, para qualquer real , tem-se . Aplicando isso com , e obtemos a desigualdade abaixo. - Portanto, para qualquer
,
Explicando passo a passo: como
, somando
aos dois lados dá
, e
, logo
. Isso é algo que podemos usar sem necessidade de teoremas avançados.
Passo 4
Prova por contradição de que não existe maior número real (passos claros e diretos):
- Suponha, para obter contradição, que exista
tal que seja verdadeira, isto é,
- Considere o número
. Pelas contas do passo anterior temos . - Mas a suposição
exige que para todo ; em particular exigiria . - Assim obtemos uma contradição: ao mesmo tempo
e . Logo a hipótese de existência de tal é falsa.
Passo 5
Conclusão lógica e interpretação prática (como usar isso na prova):
- Concluímos que não existe
que satisfaça . Em outras palavras, o predicado " é o maior número real" é falso para todo . - Maneira rápida de lembrar: dado qualquer
, sempre existe um número maior, por exemplo . Portanto não tem máximo; está indefinidamente estendido para cima. - Dica de prova em prova: formalize o predicado com
, suponha que exista um tal e use para contradizer — é curto e direto.
Resposta
O predicado é sempre falso: para todo
existe
tal que
, logo não existe maior número real.