Exercício 29. As placas placas de licenciamento de automóveis constam de sete símbolos sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos.
(a) Quantas placas distintas podemos ter sem o algarismo zero na primeira posição reservada aos algarismos?
(b) No conjunto de todas as placas distintas possíveis, qual a porcentagem daquelas que têm as duas primeiras letras iguais?
(a) Quantas placas distintas podemos ter sem o algarismo zero na primeira posição reservada aos algarismos?
(b) No conjunto de todas as placas distintas possíveis, qual a porcentagem daquelas que têm as duas primeiras letras iguais?
Passo 1
O enunciado trata de placas com sete símbolos, sendo três letras (cada uma com 26 opções) seguidas de quatro dígitos (cada um com 10 opções). Vamos usar o princípio fundamental da contagem (regra do produto): se um evento pode ocorrer de
formas e outro de
formas, juntos ocorrem de
formas.
Passo 2
(a) Queremos contar placas em que o primeiro dígito (posição 4) não seja zero.
– Para as três letras temos opções cada, totalizando
.
– Para o primeiro dígito temos opções (
).
– Para cada um dos outros três dígitos temos opções (
), totalizando
.
Pelo princípio do produto:
– Para as três letras temos
– Para o primeiro dígito temos
– Para cada um dos outros três dígitos temos
Pelo princípio do produto:
Passo 3
(b) No total de placas sem restrição temos
Queremos a porcentagem das placas em que as duas primeiras letras são iguais.
– Para isso escolhemos a letra comum em formas.
– A terceira letra fica livre em formas.
– Os quatro dígitos ficam livres em formas.
Logo o número de placas favoráveis é
– Para isso escolhemos a letra comum em
– A terceira letra fica livre em
– Os quatro dígitos ficam livres em
Logo o número de placas favoráveis é
A proporção é
ou seja, em porcentagem,
Resposta
(a)
.
(b) Aproximadamente .
(b) Aproximadamente