Exercício 29. As placas placas de licenciamento de automóveis constam de sete símbolos sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos.
(a) Quantas placas distintas podemos ter sem o algarismo zero na primeira posição reservada aos algarismos?
(b) No conjunto de todas as placas distintas possíveis, qual a porcentagem daquelas que têm as duas primeiras letras iguais?

Passo 1

O enunciado trata de placas com sete símbolos, sendo três letras (cada uma com 26 opções) seguidas de quatro dígitos (cada um com 10 opções). Vamos usar o princípio fundamental da contagem (regra do produto): se um evento pode ocorrer de m formas e outro de n formas, juntos ocorrem de m\times n formas.

Passo 2

(a) Queremos contar placas em que o primeiro dígito (posição 4) não seja zero.
– Para as três letras temos 26 opções cada, totalizando 26^3.
– Para o primeiro dígito temos 9 opções ( 1,2,\dots,9).
– Para cada um dos outros três dígitos temos 10 opções ( 0,1,\dots,9), totalizando 10^3.
Pelo princípio do produto:
N_a = 26^3 \times 9 \times 10^3.

Passo 3

(b) No total de placas sem restrição temos
N_{\text{tot}} = 26^3 \times 10^4.
Queremos a porcentagem das placas em que as duas primeiras letras são iguais.
– Para isso escolhemos a letra comum em 26 formas.
– A terceira letra fica livre em 26 formas.
– Os quatro dígitos ficam livres em 10^4 formas.
Logo o número de placas favoráveis é
N_b = 26 \times 26 \times 10^4 = 26^2 \times 10^4.
A proporção é
\frac{N_b}{N_{\text{tot}}} =\frac{26^2 \times 10^4}{26^3 \times 10^4} =\frac{1}{26},
ou seja, em porcentagem,
\frac{1}{26}\times100\%\approx3{,}846\%.

Resposta

(a) 26^3 \times 9 \times 10^3.
(b) Aproximadamente 3{,}846\%.

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