Exercício 26. Considerando a palavra PROBABILIDADE:
(a) Quantas “palavras” diferentes (anagramas, com ou sem sentido) podem ser formados com ela?
(b) Colocando-se essas “palavras” em ordem alfabética, qual é a posição ocupada pela palavra PROBABILIDADE?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a palavra “PROBABILIDADE” ( 13 letras com repetições):
1. O número total de anagramas distintos (parte (a)).
2. A posição de “PROBABILIDADE” numa lista alfabética de todos esses anagramas (parte (b)).
Conteúdo: contagem de permutações com repetição e ranking lexicográfico de uma palavra com letras repetidas.

Passo 2

Para a parte (a), contabilizamos as letras e suas multiplicidades:
\text{P(1), R(1), O(1), B(2), A(2), I(2), L(1), D(2), E(1)},
total de 13 letras, com quatro símbolos repetidos duas vezes cada. O total de anagramas é
\frac{13!}{2!\,2!\,2!\,2!}.

Passo 3

Para a parte (b), usamos o método de ranking lexicográfico:
– Listamos as letras remanescentes em ordem alfabética.
– Em cada posição da palavra-alvo, somamos as permutações que começam por letras menores que a letra atual, ajustando os multiplicadores conforme removemos uma unidade daquela letra.

Passo 4

Contribuição da 1ª letra “P”: as letras menores que “P” são A, B, D, E, I, L, O.
Para cada uma delas, calculamos o número de anagramas dos 12 caracteres restantes, com multiplicidades ajustadas. Obtemos
4\times\frac{12!}{2!\,2!\,2!} \;+\; 3\times\frac{12!}{2!\,2!\,2!\,2!} \;=\; 329\,313\,600.

Passo 5

Contribuição da 2ª letra “R” (após fixar “P”): letras menores que “R” são A, B, D, E, I, L, O.
Cada caso gera
4\times\frac{11!}{2!\,2!\,2!} \;+\; 3\times\frac{11!}{2!\,2!\,2!\,2!} \;=\; 27\,442\,800.

Passo 6

Contribuição da 3ª letra “O” (após “PR”): letras menores que “O” são A, B, D, E, I, L.
Somatório
4\times\frac{10!}{2!\,2!\,2!} \;+\; 2\times\frac{10!}{2!\,2!\,2!\,2!} \;=\; 2\,268\,000.

Passo 7

Contribuição da 4ª letra “B” (após “PRO”): só “A” é menor, gerando
\frac{9!}{2!\,2!\,2!} \;=\; 45\,360.

Passo 8

Contribuições das 5ª e 6ª letras “A”, “B”:
– Na 5ª posição letra “A”: não há letra menor \Rightarrow 0.
– Na 6ª posição letra “B”: só “A” é menor \Rightarrow
\frac{7!}{2!\,2!} \;=\; 1\,260.

Passo 9

Contribuições das 7ª e 8ª letras “I”, “L”:
7ª posição “I”: A, D, E menores \Rightarrow
180 + 360 + 180 = 720.
8ª posição “L”: A, D, E, I menores \Rightarrow
60 + 120 + 60 + 60 = 300.

Passo 10

Contribuições das 9ª e 10ª letras “I”, “D”:
9ª posição “I”: A, D, E menores \Rightarrow
12 + 24 + 12 = 48.
10ª posição “D”: só “A” menor \Rightarrow
3.

Passo 11

Nas posições 11 13 (“A”, “D”, “E”), não há letras menores disponíveis, somatório 0.

Passo 12

Somando todas as contribuições de palavras lexicograficamente menores que “PROBABILIDADE”:
329313600+27442800+2268000+45360+1260+720+300+48+3=359072091
A posição de “PROBABILIDADE” é essa soma mais 1:
359\,072\,091 + 1 = 359\,072\,092.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{13!}{2!\,2!\,2!\,2!} = 389\,188\,800
(b) 359\,072\,092

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