Exercício 26. Considerando a palavra PROBABILIDADE:
(a) Quantas “palavras” diferentes (anagramas, com ou sem sentido) podem ser formados com ela?
(b) Colocando-se essas “palavras” em ordem alfabética, qual é a posição ocupada pela palavra PROBABILIDADE?
(a) Quantas “palavras” diferentes (anagramas, com ou sem sentido) podem ser formados com ela?
(b) Colocando-se essas “palavras” em ordem alfabética, qual é a posição ocupada pela palavra PROBABILIDADE?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a palavra “PROBABILIDADE” (
letras com repetições):
. O número total de anagramas distintos (parte (a)).
. A posição de “PROBABILIDADE” numa lista alfabética de todos esses anagramas (parte (b)).
Conteúdo: contagem de permutações com repetição e ranking lexicográfico de uma palavra com letras repetidas.
Conteúdo: contagem de permutações com repetição e ranking lexicográfico de uma palavra com letras repetidas.
Passo 2
Para a parte (a), contabilizamos as letras e suas multiplicidades:
total de
letras, com quatro símbolos repetidos duas vezes cada. O total de anagramas é
Passo 3
Para a parte (b), usamos o método de ranking lexicográfico:
– Listamos as letras remanescentes em ordem alfabética.
– Em cada posição da palavra-alvo, somamos as permutações que começam por letras menores que a letra atual, ajustando os multiplicadores conforme removemos uma unidade daquela letra.
– Listamos as letras remanescentes em ordem alfabética.
– Em cada posição da palavra-alvo, somamos as permutações que começam por letras menores que a letra atual, ajustando os multiplicadores conforme removemos uma unidade daquela letra.
Passo 4
Contribuição da
ª letra “P”: as letras menores que “P” são A, B, D, E, I, L, O.
Para cada uma delas, calculamos o número de anagramas dos caracteres restantes, com multiplicidades ajustadas. Obtemos
Para cada uma delas, calculamos o número de anagramas dos
Passo 5
Contribuição da
ª letra “R” (após fixar “P”): letras menores que “R” são A, B, D, E, I, L, O.
Cada caso gera
Cada caso gera
Passo 6
Contribuição da
ª letra “O” (após “PR”): letras menores que “O” são A, B, D, E, I, L.
Somatório
Somatório
Passo 7
Contribuição da
ª letra “B” (após “PRO”): só “A” é menor, gerando
Passo 8
Contribuições das
ª e
ª letras “A”, “B”:
– Na ª posição letra “A”: não há letra menor
.
– Na ª posição letra “B”: só “A” é menor
– Na
– Na
Passo 9
Contribuições das
ª e
ª letras “I”, “L”:
– ª posição “I”: A, D, E menores
–
–
ª posição “L”: A, D, E, I menores
Passo 10
Contribuições das
ª e
ª letras “I”, “D”:
– ª posição “I”: A, D, E menores
–
–
ª posição “D”: só “A” menor
Passo 11
Nas posições
–
(“A”, “D”, “E”), não há letras menores disponíveis, somatório
.
Passo 12
Somando todas as contribuições de palavras lexicograficamente menores que “PROBABILIDADE”:
A posição de “PROBABILIDADE” é essa soma mais
:
Resposta
(a)
(b)
(b)