Exercício 30. (a) Encontre a derivada de f(u)=\frac{6}{u^{2}} usando a “regra do tombo”.
(b) Encontre a derivada de f(u)=\frac{6}{u^{2}} usando a regra do quociente.
(c) O que você conclui a partir dos itens acima?
(d) Calcule as derivadas de f(x)=3^{x} e g(x)=x^{3}. O que você conclui? Usam a mesma regra de derivação?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  1. Derivar f(u)=\tfrac{6}{u^{2}} usando a “regra do tombo” (power rule).
  2. Derivar a mesma função usando a regra do quociente.
  3. Comparar os resultados dos itens (a) e (b).
  4. Derivar f(x)=3^{x} e g(x)=x^{3} e comentar se usam a mesma regra de derivação.
    Vamos usar o power rule para potências e a regra do quociente, além da fórmula de derivada de exponencial.

Passo 2

Aplicando a “regra do tombo” escrevemos
f(u)=\frac{6}{u^{2}}=6\,u^{-2}.
Pela power rule,
f'(u)=6\cdot(-2)\,u^{-2-1}=-12\,u^{-3}=\,-\frac{12}{u^{3}}.

Passo 3

Pela regra do quociente, para
f(u)=\frac{6}{u^{2}},
temos
f'(u) =\frac{(0)\cdot u^{2}-6\cdot(2u)}{(u^{2})^{2}} =\frac{-12u}{u^{4}} =-\frac{12}{u^{3}}.
O resultado coincide com o do passo anterior.

Passo 4

A conclusão é que a derivação via power rule para expoentes negativos produz o mesmo resultado da regra do quociente, validando ambos os procedimentos.

Passo 5

Para f(x)=3^{x} usamos a regra da exponencial de base diferente de e:
f'(x)=3^{x}\,\ln 3.
Para g(x)=x^{3} usamos o power rule:
g'(x)=3\,x^{2}.
Concluímos que a derivada de uma potência de x usa power rule enquanto a de uma exponencial a^{x} usa a fórmula a^{x}\ln a; são regras distintas.

Resposta

(a) -\tfrac{12}{u^{3}}
(b) -\tfrac{12}{u^{3}}
(c) Os dois métodos dão o mesmo resultado, mostrando a consistência entre power rule e quociente.
(d)
\,f'(x)=3^{x}\ln 3 e g'(x)=3x^{2}. São regras diferentes: power rule para x^{n} e fórmula a^{x}\ln a para a^{x}.

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