Exercício 30. (a) Encontre a derivada de
usando a “regra do tombo”.
(b) Encontre a derivada de
usando a regra do quociente.
(c) O que você conclui a partir dos itens acima?
(d) Calcule as derivadas de
e
. O que você conclui? Usam a mesma regra de derivação?
(b) Encontre a derivada de
(c) O que você conclui a partir dos itens acima?
(d) Calcule as derivadas de
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
- Derivar
usando a “regra do tombo” (power rule). - Derivar a mesma função usando a regra do quociente.
- Comparar os resultados dos itens (a) e (b).
- Derivar
e e comentar se usam a mesma regra de derivação.
Vamos usar o power rule para potências e a regra do quociente, além da fórmula de derivada de exponencial.
Passo 2
Aplicando a “regra do tombo” escrevemos
Pela power rule,
Passo 3
Pela regra do quociente, para
temos
O resultado coincide com o do passo anterior.
Passo 4
A conclusão é que a derivação via power rule para expoentes negativos produz o mesmo resultado da regra do quociente, validando ambos os procedimentos.
Passo 5
Para
usamos a regra da exponencial de base diferente de
:
Para
usamos o power rule:
Concluímos que a derivada de uma potência de
usa power rule enquanto a de uma exponencial
usa a fórmula
; são regras distintas.
Resposta
(a)
(b)
(c) Os dois métodos dão o mesmo resultado, mostrando a consistência entre power rule e quociente.
(d)
e
. São regras diferentes: power rule para
e fórmula
para
.
(b)
(c) Os dois métodos dão o mesmo resultado, mostrando a consistência entre power rule e quociente.
(d)