Exercício 32. Calcule a derivada de:
f(x)=(2 \cos (x)+\operatorname{sen}(x))\left(x^{2}+\log _{5}(x)+2 x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = \bigl(2\cos(x) + \sin(x)\bigr)\,\bigl(x^{2} + \log_{5}(x) + 2x\bigr).
Aqui vamos usar a regra do produto: se f(x)=u(x)\,v(x) então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Também precisamos saber que
\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x),\quad \frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x),
e
\frac{d}{dx}\log_{5}(x)=\frac{1}{x\ln(5)}.

Passo 2

Definimos
u(x)=2\cos(x)+\sin(x).
Derivando:
u'(x)=2\bigl(-\sin(x)\bigr)+\cos(x)=-2\sin(x)+\cos(x).

Passo 3

Definimos
v(x)=x^{2}+\log_{5}(x)+2x.
Derivando cada termo:
\frac{d}{dx}x^{2}=2x, \quad \frac{d}{dx}\log_{5}(x)=\frac{1}{x\ln(5)}, \quad \frac{d}{dx}(2x)=2.
Somando,
v'(x)=2x+\frac{1}{x\ln(5)}+2.

Passo 4

Aplicando a regra do produto f'=u'v+u\,v', obtemos
f'(x)=\bigl(-2\sin(x)+\cos(x)\bigr)\bigl(x^{2}+\log_{5}(x)+2x\bigr) +\bigl(2\cos(x)+\sin(x)\bigr)\Bigl(2x+2+\frac{1}{x\ln(5)}\Bigr).

Resposta

f'(x)=\bigl(-2\sin(x)+\cos(x)\bigr)\bigl(x^{2}+\log_{5}(x)+2x\bigr) +\bigl(2\cos(x)+\sin(x)\bigr)\Bigl(2x+2+\frac{1}{x\ln(5)}\Bigr).

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