Exercício 31. (a) Use a regra do produto para descobrir a regra do quociente: se F=f / g, f e g deriváveis, escreva F g=f e descubra F^{\prime}.
(b) Use a regra do quociente para mostrar que
f(x)=\log _{a}(x) \Longrightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{\ln (a) \cdot x}, x>0.
Dica: use que \log _{a}(x)=\frac{\ln (x)}{\ln (a)} e que \frac{d}{d x} \ln (x)=\frac{1}{x}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Na parte (a) queremos deduzir a regra do quociente a partir da regra do produto, ou seja, se definimos
F(x)=\frac{f(x)}{g(x)},
com f e g deriváveis, encontrar F'(x).
Na parte (b) vamos usar essa regra para derivar f(x)=\log_{a}(x) mostrando que
f'(x)=\frac{1}{\ln(a)\,x},\quad x>0.

Passo 2

Para (a), comece escrevendo
F(x)\,g(x)=f(x).
Agora aplique a regra do produto em \bigl(F(x)g(x)\bigr)':
\frac{d}{dx}\bigl(Fg\bigr)=F'\,g+F\,g'=f'.
Isso dá a relação
F'(x)\,g(x)+F(x)\,g'(x)=f'(x).

Passo 3

Isolando F'(x), vem
F'(x)=\frac{f'(x)-F(x)\,g'(x)}{g(x)}.
Como F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}, substituímos para obter
F'(x) =\frac{f'(x)-\bigl(\frac{f(x)}{g(x)}\bigr)\,g'(x)}{g(x)} =\frac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{g(x)^2}.

Passo 4

Para (b), note que
\log_{a}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)},
onde \ln(a) é constante. Aplicando a regra do quociente com u(x)=\ln(x) e v(x)=\ln(a), temos u'(x)=1/x e v'(x)=0. Logo
\frac{d}{dx}\log_{a}(x) =\frac{\frac{1}{x}\,\ln(a)-\ln(x)\cdot0}{\bigl(\ln(a)\bigr)^2} =\frac{1}{x\,\ln(a)}.

Resposta

(a) \displaystyle F'(x)=\frac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{g(x)^2}.
(b) \displaystyle \frac{d}{dx}\log_{a}(x)=\frac{1}{\ln(a)\,x}.

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