Exercício 1 (30 pontos) Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas exibindo uma demonstração, ou contra-exemplo.
O polinômio característico de uma transformação linear T: U \rightarrow U, sendo U de dimensão finita, não depende da base escolhida para U.

Passo 1

Enunciado e dados: temos uma transformação linear T:U\to U, onde U é de dimensão finita. A pergunta é: “O polinômio característico de T não depende da base escolhida para U?” Você pede que a afirmação seja classificada em verdadeira ou falsa, exibindo demonstração (se for verdadeira) ou contra-exemplo (se for falsa). As informações relevantes dadas pelo enunciado são que T é uma transformação linear em um espaço vetorial de dimensão finita e que queremos comparar o polinômio característico obtido em bases diferentes.

Passo 2

Definição e notação do polinômio característico: seja \mathcal B uma base de U com n=\dim U. Denotamos por [T]_{\mathcal B} a matriz de T nessa base. O polinômio característico de T relativo à base \mathcal B é a função polinomial em \lambda
\chi_{[T]_{\mathcal B}}(\lambda)=\det\big([T]_{\mathcal B}-\lambda I\big).
Aqui I é a matriz identidade n\times n, \lambda é a variável do polinômio e \det é a função determinante. Explico: \chi_{[T]_{\mathcal B}}(\lambda) é um polinômio monico de grau n cujas raízes são os autovalores da matriz [T]_{\mathcal B}.

Passo 3

O que muda quando trocamos de base: seja \mathcal B' outra base de U. Existe uma matriz invertível P (a matriz de mudança de base de \mathcal B para \mathcal B') tal que as matrizes de T nas duas bases estão relacionadas por
[T]_{\mathcal B'}=P^{-1}[T]_{\mathcal B}P.
Comentário sobre P: suas colunas são as coordenadas, na base \mathcal B, dos vetores da base \mathcal B'. Por ser matriz de mudança de base entre bases, P é invertível.

Passo 4

Cálculo do polinômio característico na base \mathcal B' e manipulação algébrica: comece com a definição
\chi_{[T]_{\mathcal B'}}(\lambda)=\det\big([T]_{\mathcal B'}-\lambda I\big).
Substituindo a relação de similaridade,
\chi_{[T]_{\mathcal B'}}(\lambda)=\det\big(P^{-1}[T]_{\mathcal B}P-\lambda I\big).
Observe que \lambda I = \lambda P^{-1}IP, logo
P^{-1}[T]_{\mathcal B}P-\lambda I = P^{-1}[T]_{\mathcal B}P-\lambda P^{-1}IP = P^{-1}\big([T]_{\mathcal B}-\lambda I\big)P.
Portanto
\chi_{[T]_{\mathcal B'}}(\lambda)=\det\!\big(P^{-1}\big([T]_{\mathcal B}-\lambda I\big)P\big).

Passo 5

Uso das propriedades do determinante para concluir a igualdade: aplicando a propriedade multiplicativa do determinante, \det(XY)=\det(X)\det(Y), obtemos
\chi_{[T]_{\mathcal B'}}(\lambda)=\det(P^{-1})\det\big([T]_{\mathcal B}-\lambda I\big)\det(P).
Mas \det(P^{-1})=\dfrac{1}{\det(P)}, então \det(P^{-1})\det(P)=1. Logo
\chi_{[T]_{\mathcal B'}}(\lambda)=\det\big([T]_{\mathcal B}-\lambda I\big)=\chi_{[T]_{\mathcal B}}(\lambda).
Isto vale para todo \lambda, portanto os dois polinômios são idênticos.

Passo 6

Interpretação conceitual e significado: mostramos que, se duas matrizes representam a mesma transformação linear em duas bases diferentes, elas são semelhantes (ligadas por P^{-1}(\cdot)P) e a operação [T]\mapsto\det([T]-\lambda I) é invariante por similaridade. Assim o polinômio característico é uma propriedade da transformação linear T (não da escolha de base).

Passo 7

Exemplo numérico para fixar a ideia (mostrando na prática): seja U=\mathbb R^2 e tome, na base canônica, a matriz
A=[T]_{\mathcal B}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\chi_A(\lambda)=\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[2pt] 0 & 3-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(3-\lambda).
Escolhemos uma nova base cujas coordenadas em relação à base canônica formam a matriz
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Calculamos
A' = P^{-1}AP = \begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt] 0 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 0\\[2pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
O polinômio característico de A' é
\chi_{A'}(\lambda)=\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 0\\[2pt] 0 & 3-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(3-\lambda),
o mesmo que antes. Este exemplo confirma concretamente o argumento geral.]

Passo 8

Conclusão final e ânimo: portanto a afirmação é verdadeira e a razão é que mudar de base produz matrizes semelhantes e o determinante de A-\lambda I é invariante por similaridade. Você pode levar esse resultado para a prova: quando te pedirem o polinômio característico de uma transformação linear, pode calcular em qualquer base conveniente — o resultado será o mesmo. Força aí! Você já ganhou um importante truque para economizar tempo na prova.

Resposta

Verdadeiro.

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