Exercício 1 (30 pontos) Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas exibindo uma demonstração, ou contra-exemplo.
O polinômio característico de uma transformação linear
, sendo
de dimensão finita, não depende da base escolhida para
.
O polinômio característico de uma transformação linear
Passo 1
Enunciado e dados: temos uma transformação linear
, onde
é de dimensão finita. A pergunta é: “O polinômio característico de
não depende da base escolhida para
?” Você pede que a afirmação seja classificada em verdadeira ou falsa, exibindo demonstração (se for verdadeira) ou contra-exemplo (se for falsa). As informações relevantes dadas pelo enunciado são que
é uma transformação linear em um espaço vetorial de dimensão finita e que queremos comparar o polinômio característico obtido em bases diferentes.
Passo 2
Definição e notação do polinômio característico: seja
uma base de
com
. Denotamos por
a matriz de
nessa base. O polinômio característico de
relativo à base
é a função polinomial em
Aqui
é a matriz identidade
,
é a variável do polinômio e
é a função determinante. Explico:
é um polinômio monico de grau
cujas raízes são os autovalores da matriz
.
Passo 3
O que muda quando trocamos de base: seja
outra base de
. Existe uma matriz invertível
(a matriz de mudança de base de
para
) tal que as matrizes de
nas duas bases estão relacionadas por
Comentário sobre
: suas colunas são as coordenadas, na base
, dos vetores da base
. Por ser matriz de mudança de base entre bases,
é invertível.
Passo 4
Cálculo do polinômio característico na base
e manipulação algébrica: comece com a definição
Substituindo a relação de similaridade,
Observe que
, logo
Portanto
Passo 5
Uso das propriedades do determinante para concluir a igualdade: aplicando a propriedade multiplicativa do determinante,
, obtemos
Mas
, então
. Logo
Isto vale para todo
, portanto os dois polinômios são idênticos.
Passo 6
Interpretação conceitual e significado: mostramos que, se duas matrizes representam a mesma transformação linear em duas bases diferentes, elas são semelhantes (ligadas por
) e a operação
é invariante por similaridade. Assim o polinômio característico é uma propriedade da transformação linear
(não da escolha de base).
Passo 7
Exemplo numérico para fixar a ideia (mostrando na prática): seja
e tome, na base canônica, a matriz
O polinômio característico é
Escolhemos uma nova base cujas coordenadas em relação à base canônica formam a matriz
Calculamos
O polinômio característico de
é
o mesmo que antes. Este exemplo confirma concretamente o argumento geral.]
Passo 8
Conclusão final e ânimo: portanto a afirmação é verdadeira e a razão é que mudar de base produz matrizes semelhantes e o determinante de
é invariante por similaridade. Você pode levar esse resultado para a prova: quando te pedirem o polinômio característico de uma transformação linear, pode calcular em qualquer base conveniente — o resultado será o mesmo. Força aí! Você já ganhou um importante truque para economizar tempo na prova.
Resposta
Verdadeiro.