Exercício 1 (30 pontos) Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas exibindo uma demonstração, ou contra-exemplo.
A função
, definida por
, é linear.
A função
Passo 1
O enunciado pede para classificar a afirmação “A função
, definida por
, é linear” como verdadeira ou falsa, exibindo demonstração ou contra-exemplo.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Domínio e contradomínio:
. - Definição dada:
.
Observação importante (clarificadora): a expressão do enunciado atribui a cada triplao valor , que é um número real (um escalar), isto é, um elemento de . Porém o contradomínio declarado é . Há, portanto, uma aparente inconsistência entre o tipo do valor retornado (um escalar) e o contradomínio (vetores em ). Vou trabalhar com o enunciado exatamente como está escrito e mostrar o que isso implica sobre linearidade.
Passo 2
Lembrando a definição (explicada devagarzinho): uma aplicação
é uma função bem-definida
que, além disso, é linear se e somente se satisfaz duas propriedades para todos
e todo escalar
:
- Aditividade:
. - Homogeneidade:
.
Antes de verificar essas propriedades, é crucial queseja realmente um elemento de para todo : isto é a exigência básica de ser uma função com contradomínio . Se para algum o valor não estiver em , então não é nem sequer uma função , e portanto não pode ser uma transformação linear .
Passo 3
Vamos avaliar o que o enunciado realmente dá quando aplicamos
a um vetor simples. Tome o vetor
Pelo enunciado,
. Note que
é um elemento de
, não de
. Portanto
. Isso mostra que, tal como o enunciado está escrito,
não é uma função cujo valor esteja sempre em
. Logo
não é uma aplicação
bem-definida.
Passo 4
Como consequência direta do passo anterior,
não pode ser uma transformação linear
, porque nem sequer respeita o requisito básico de mapeamento para o contradomínio declarado. Não há necessidade de verificar as propriedades de aditividade e homogeneidade: falha primeiro a condição de tipo (imagem não está em
). Portanto a afirmação é falsa.
Passo 5
Para ser útil na prova: se o autor do exercício tivesse querido definir uma transformação linear que apenas muda o sinal da primeira coordenada e deixa as outras zeros, ele deveria ter escrito, por exemplo,
e aí sim essa aplicação seria linear — porque dá para verificar diretamente aditividade e homogeneidade coordenada a coordenada. Mas isso é uma outra aplicação, diferente da escrita do enunciado original.
Resposta
Falsa.