Exercício 1 (30 pontos) Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas exibindo uma demonstração, ou contra-exemplo.
A função T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por T(x, y, z)=-x, é linear.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a afirmação “A função T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por T(x,y,z)=-x, é linear” como verdadeira ou falsa, exibindo demonstração ou contra-exemplo.
Informações fornecidas:
  • Domínio e contradomínio: \mathbb{R}^{3}.
  • Definição dada: T(x,y,z)=-x.
    Observação importante (clarificadora): a expressão do enunciado atribui a cada tripla (x,y,z) o valor -x, que é um número real (um escalar), isto é, um elemento de \mathbb{R}. Porém o contradomínio declarado é \mathbb{R}^3. Há, portanto, uma aparente inconsistência entre o tipo do valor retornado (um escalar) e o contradomínio (vetores em \mathbb{R}^3). Vou trabalhar com o enunciado exatamente como está escrito e mostrar o que isso implica sobre linearidade.

Passo 2

Lembrando a definição (explicada devagarzinho): uma aplicação T é uma função bem-definida T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 que, além disso, é linear se e somente se satisfaz duas propriedades para todos u,v\in\mathbb{R}^3 e todo escalar c\in\mathbb{R}:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade: T(cu)=c\,T(u).
    Antes de verificar essas propriedades, é crucial que T(u) seja realmente um elemento de \mathbb{R}^3 para todo u\in\mathbb{R}^3: isto é a exigência básica de ser uma função com contradomínio \mathbb{R}^3. Se para algum u o valor T(u) não estiver em \mathbb{R}^3, então T não é nem sequer uma função \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, e portanto não pode ser uma transformação linear \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3.

Passo 3

Vamos avaliar o que o enunciado realmente dá quando aplicamos T a um vetor simples. Tome o vetor
u=(1,0,0)\in\mathbb{R}^3.
Pelo enunciado, T(1,0,0)=-1. Note que -1 é um elemento de \mathbb{R}, não de \mathbb{R}^3. Portanto T(1,0,0)\notin\mathbb{R}^3. Isso mostra que, tal como o enunciado está escrito, T não é uma função cujo valor esteja sempre em \mathbb{R}^3. Logo T não é uma aplicação \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 bem-definida.

Passo 4

Como consequência direta do passo anterior, T não pode ser uma transformação linear \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, porque nem sequer respeita o requisito básico de mapeamento para o contradomínio declarado. Não há necessidade de verificar as propriedades de aditividade e homogeneidade: falha primeiro a condição de tipo (imagem não está em \mathbb{R}^3). Portanto a afirmação é falsa.

Passo 5

Para ser útil na prova: se o autor do exercício tivesse querido definir uma transformação linear que apenas muda o sinal da primeira coordenada e deixa as outras zeros, ele deveria ter escrito, por exemplo,
T(x,y,z)=(-x,0,0)\in\mathbb{R}^3,
e aí sim essa aplicação seria linear — porque dá para verificar diretamente aditividade e homogeneidade coordenada a coordenada. Mas isso é uma outra aplicação, diferente da escrita do enunciado original.

Resposta

Falsa.

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