Exercício 1 (30 pontos) Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas exibindo uma demonstração, ou contra-exemplo.
A função
, definida por
, é linear.
A função
Passo 1
Enunciado e o que se pede: a função
é dada por
A tarefa é classificar a afirmação "
é linear" como verdadeira ou falsa, exibindo uma demonstração (prova) ou um contra-exemplo. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Passo 2
Definição e propriedades que uma transformação linear deve satisfazer. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
e
Aqui
e
são vetores da forma
,
; a soma e a multiplicação por escalar são as operações usuais em
. Uma consequência imediata da propriedade de homogeneidade é que
deve mandar o vetor zero no vetor zero do contradomínio: tomando
em
obtemos
Ou seja, para qualquer transformação linear é necessário que
. Esse é um teste rápido e frequentemente usado: se
, então
não pode ser linear.
Passo 3
Aplicando o teste do vetor zero ao
dado. Calculo direto:
Como
, a condição necessária
para linearidade é violada. Portanto os axiomas de linearidade não se mantêm para esta transformação.
Passo 4
Contra-exemplo explícito que mostra que a aditividade também falha. Tome os vetores
e
. Então
e
Por outro lado,
Como
(aqui
), a propriedade de aditividade falha para esses vetores. Logo temos um contra-exemplo direto à linearidade.
Passo 5
Intuição e observação final (didática): o termo
é não-linear em
(é quadrático) e o termo constante
desloca o valor em relação à origem; qualquer transformação linear deve ser uma combinação linear das coordenadas sem termos constantes nem termos não-lineares. Por exemplo, a função
é linear: verifica-se
,
e
. No caso de
temos violação das condições necessárias (teste do zero) e também violação da aditividade por contra-exemplo.
Resposta
Falsa.