Exercício 1 (30 pontos) Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas exibindo uma demonstração, ou contra-exemplo.
A função T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, definida por T(x, y)=x^{2}+1, é linear.

Passo 1

Enunciado e o que se pede: a função T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} é dada por
T(x,y)=x^{2}+1.
A tarefa é classificar a afirmação " T é linear" como verdadeira ou falsa, exibindo uma demonstração (prova) ou um contra-exemplo. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{domínio: } \mathbb{R}^{2},\qquad \text{contradomínio: } \mathbb{R},\qquad T(x,y)=x^{2}+1.íí

Passo 2

Definição e propriedades que uma transformação linear deve satisfazer. Uma transformação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(c\,u)=c\,T(u).
Aqui u e v são vetores da forma u=(x_1,y_1), v=(x_2,y_2); a soma e a multiplicação por escalar são as operações usuais em \mathbb{R}^2. Uma consequência imediata da propriedade de homogeneidade é que T deve mandar o vetor zero no vetor zero do contradomínio: tomando c=0 em T(cu)=cT(u) obtemos
T(0)=T(0\cdot u)=0\cdot T(u)=0.
Ou seja, para qualquer transformação linear é necessário que T(0,0)=0. Esse é um teste rápido e frequentemente usado: se T(0,0)\neq 0, então T não pode ser linear.

Passo 3

Aplicando o teste do vetor zero ao T dado. Calculo direto:
T(0,0)=0^{2}+1=1.
Como 1\neq 0, a condição necessária T(0,0)=0 para linearidade é violada. Portanto os axiomas de linearidade não se mantêm para esta transformação.

Passo 4

Contra-exemplo explícito que mostra que a aditividade também falha. Tome os vetores u=(1,0) e v=(1,0). Então
u+v=(2,0),
e
T(u+v)=T(2,0)=2^{2}+1=5.
Por outro lado,
T(u)+T(v)=(1^{2}+1)+(1^{2}+1)=2+2=4.
Como T(u+v)\neq T(u)+T(v) (aqui 5\neq 4), a propriedade de aditividade falha para esses vetores. Logo temos um contra-exemplo direto à linearidade.

Passo 5

Intuição e observação final (didática): o termo x^{2} é não-linear em x (é quadrático) e o termo constante +1 desloca o valor em relação à origem; qualquer transformação linear deve ser uma combinação linear das coordenadas sem termos constantes nem termos não-lineares. Por exemplo, a função S(x,y)=2x+3y é linear: verifica-se S(0,0)=0, S(u+v)=S(u)+S(v) e S(cu)=cS(u). No caso de T(x,y)=x^{2}+1 temos violação das condições necessárias (teste do zero) e também violação da aditividade por contra-exemplo.

Resposta

Falsa.

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