Exercício 30. Prove que:
\cos \left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{\cos x+1}{2}}

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade
\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{\cos x+1}{2}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão do lado direito usa a raiz quadrada principal (sempre não-negativa).
  • Portanto, ao final devemos prestar atenção ao sinal: a identidade com a raiz positiva só pode ser verdadeira quando \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\ge 0.
    A resolução começa a partir de identidades trigonométricas básicas (que vou relembrar e explicar passo a passo).

Passo 2

Relembre e aplique a fórmula de adição para o cosseno. A fórmula de adição diz que, para quaisquer ângulos \alpha e \beta,
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.
Explicando rapidamente: essa fórmula vem da interpretação geométrica das projeções no círculo unitário ou pode ser deduzida por identidades envolvendo exponenciais complexas; aqui basta aceitá‑la como uma identidade padrão. Agora faça \alpha=\beta=\theta. Substituindo na fórmula:
\cos(2\theta)=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta.
Ou seja,
\cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta.

Passo 3

Use a relação \sin^2\theta=1-\cos^2\theta (que vem da identidade pitagórica \sin^2\theta+\cos^2\theta=1). Substituindo em \cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta obtemos:
\cos(2\theta)=\cos^2\theta-(1-\cos^2\theta)=2\cos^2\theta-1.
Essa é a conhecida fórmula do ângulo duplo para o cosseno:
\boxed{\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1.}

Passo 4

A partir de \cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1 isolamos \cos^2\theta. Basta resolver algebricamente:
2\cos^2\theta=\cos(2\theta)+1,
logo
\cos^2\theta=\frac{\cos(2\theta)+1}{2}.
Agora tomamos a raiz quadrada em ambos os lados. Ao extrair raiz de \cos^2\theta obtemos
\cos\theta=\pm\sqrt{\frac{\cos(2\theta)+1}{2}}.
O sinal \pm aparece porque \sqrt{\cdot} denota por convenção a raiz não-negativa, enquanto \cos\theta pode ser positiva ou negativa.

Passo 5

Escolha \theta=\dfrac{x}{2}. Substituindo na última igualdade:
\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{\cos x+1}{2}}.
Isto mostra que \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right) tem módulo igual a \sqrt{\dfrac{\cos x+1}{2}}. Para obter exatamente a forma pedida no enunciado (com raiz positiva, sem o \pm), devemos exigir que o lado esquerdo seja não-negativo. Ou seja, quando
\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\ge 0,
temos exatamente
\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{\cos x+1}{2}}.

Passo 6

Esclarecimento sobre quando isso ocorre (para usar na prova): \cos t\ge 0 quando t\in\left[-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\;\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\right] para algum k\in\mathbb{Z}. Aplicando t=\dfrac{x}{2}, a condição fica
\frac{x}{2}\in\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\;\frac{\pi}{2}+2k\pi\right] \quad\Longleftrightarrow\quad x\in\left[-\pi+4k\pi,\;\pi+4k\pi\right].
Em palavras: no intervalo principal x\in[-\pi,\pi] a fórmula com raiz positiva vale. Fora desses intervalos a igualdade com raiz positiva falha pelo sinal (o valor de \cos(x/2) será negativo enquanto a raiz é não‑negativa).

Resposta

\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{\cos x+1}{2}} para \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\ge0.

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