Exercício 30. Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão do lado direito usa a raiz quadrada principal (sempre não-negativa).
- Portanto, ao final devemos prestar atenção ao sinal: a identidade com a raiz positiva só pode ser verdadeira quando
.
A resolução começa a partir de identidades trigonométricas básicas (que vou relembrar e explicar passo a passo).
Passo 2
Relembre e aplique a fórmula de adição para o cosseno. A fórmula de adição diz que, para quaisquer ângulos
e
,
Explicando rapidamente: essa fórmula vem da interpretação geométrica das projeções no círculo unitário ou pode ser deduzida por identidades envolvendo exponenciais complexas; aqui basta aceitá‑la como uma identidade padrão. Agora faça
. Substituindo na fórmula:
Ou seja,
Passo 3
Use a relação
(que vem da identidade pitagórica
). Substituindo em
obtemos:
Essa é a conhecida fórmula do ângulo duplo para o cosseno:
Passo 4
A partir de
isolamos
. Basta resolver algebricamente:
logo
Agora tomamos a raiz quadrada em ambos os lados. Ao extrair raiz de
obtemos
O sinal
aparece porque
denota por convenção a raiz não-negativa, enquanto
pode ser positiva ou negativa.
Passo 5
Escolha
. Substituindo na última igualdade:
Isto mostra que
tem módulo igual a
. Para obter exatamente a forma pedida no enunciado (com raiz positiva, sem o
), devemos exigir que o lado esquerdo seja não-negativo. Ou seja, quando
temos exatamente
Passo 6
Esclarecimento sobre quando isso ocorre (para usar na prova):
quando
para algum
. Aplicando
, a condição fica
Em palavras: no intervalo principal
a fórmula com raiz positiva vale. Fora desses intervalos a igualdade com raiz positiva falha pelo sinal (o valor de
será negativo enquanto a raiz é não‑negativa).