Exercício 30. Prove que:
\cos (2 x)=\cos ^{2} x-\operatorname{sen}^{2} x

Passo 1

O enunciado pede que se prove a igualdade abaixo para qualquer ângulo x:
\cos(2x)=\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x.
Informações relevantes que temos no enunciado:
  • A incógnita é o ângulo x.
  • A expressão a ser demonstrada envolve as funções trigonométricas cosseno e seno e potências dessas funções (por exemplo, \cos^{2}x significa (\cos x)^{2}).
    Nada mais é dado; a tarefa é mostrar que a igualdade vale para todo x.

Passo 2

Vamos lembrar e provar uma fórmula muito útil: a fórmula da soma de ângulos para o cosseno. Essa fórmula diz que, para quaisquer ângulos a e b,
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.
Explicando e provando de maneira direta e elementar: pense no ponto do círculo unitário associado a um ângulo \theta. Esse ponto tem coordenadas (\cos\theta,\sin\theta). A rotação no plano por um ângulo \varphi é representada pela multiplicação pela matriz de rotação
R(\varphi)=\begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi\\[4pt]\sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}.
Rotacionar um vetor por a e depois por b é o mesmo que rotacionar por a+b. Em termos de matrizes isso significa
R(a)\,R(b)=R(a+b).
Agora calcule o produto R(a)R(b) explicitamente:
R(a)R(b) = \begin{pmatrix}\cos a & -\sin a\\[4pt]\sin a & \cos a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos b & -\sin b\\[4pt]\sin b & \cos b\end{pmatrix}.
Multiplicando as matrizes linha-por-coluna, o elemento da primeira linha e primeira coluna fica
(\cos a)(\cos b)+(-\sin a)(\sin b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.
Mas esse elemento corresponde ao (1,1) da matriz R(a+b), que é \cos(a+b). Portanto obtemos a identidade procurada:
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.
(Isto é, a igualdade acima vem diretamente da propriedade de compor rotações e do cálculo da multiplicação de matrizes.)]

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da soma de ângulos com a=b=x. Substituindo a=x e b=x em
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,
temos
\cos( x + x)=\cos x\cos x-\sin x\sin x.
Ou seja,
\cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x.
Como usamos a notação em português no enunciado, podemos escrever \sin x como \operatorname{sen}x; portanto a igualdade fica
\cos(2x)=\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x,
que é exatamente o que se pedia provar.

Passo 4

Para fixar bem a ideia, transformamos a identidade em duas formas alternativas úteis (isso ajuda bastante na prova e na resolução de exercícios): usar a identidade pitagórica
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
A partir de \cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x podemos escrever
\cos(2x)=\cos^{2}x-(1-\cos^{2}x)=2\cos^{2}x-1,
ou, substituindo \cos^{2}x=1-\sin^{2}x,
\cos(2x)=(1-\sin^{2}x)-\sin^{2}x=1-2\sin^{2}x.
Essas formas alternativas são muito práticas: \cos(2x)=2\cos^{2}x-1 e \cos(2x)=1-2\sin^{2}x. Todas são equivalentes e derivam diretamente da identidade principal que provamos.

Passo 5

Um cheque rápido com um valor concreto para ganhar confiança: escolha x=30^\circ (ou \pi/6 rad). Sabendo que \cos 30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin 30^\circ=\tfrac12,
\cos^{2}30^\circ-\sin^{2}30^\circ=\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{3}{4}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2},
e \cos(2\cdot30^\circ)=\cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}. Batem certinho — sinal de que a identidade está correta e operacional.

Resposta

\cos(2x)=\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x

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