Exercício 30. Prove que:
Passo 1
O enunciado pede que se prove a igualdade abaixo para qualquer ângulo
:
Informações relevantes que temos no enunciado:
- A incógnita é o ângulo
. - A expressão a ser demonstrada envolve as funções trigonométricas cosseno e seno e potências dessas funções (por exemplo,
significa ).
Nada mais é dado; a tarefa é mostrar que a igualdade vale para todo.
Passo 2
Vamos lembrar e provar uma fórmula muito útil: a fórmula da soma de ângulos para o cosseno. Essa fórmula diz que, para quaisquer ângulos
e
,
Explicando e provando de maneira direta e elementar: pense no ponto do círculo unitário associado a um ângulo
. Esse ponto tem coordenadas
. A rotação no plano por um ângulo
é representada pela multiplicação pela matriz de rotação
Rotacionar um vetor por
e depois por
é o mesmo que rotacionar por
. Em termos de matrizes isso significa
Agora calcule o produto
explicitamente:
Multiplicando as matrizes linha-por-coluna, o elemento da primeira linha e primeira coluna fica
Mas esse elemento corresponde ao
da matriz
, que é
. Portanto obtemos a identidade procurada:
(Isto é, a igualdade acima vem diretamente da propriedade de compor rotações e do cálculo da multiplicação de matrizes.)]
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula da soma de ângulos com
. Substituindo
e
em
temos
Ou seja,
Como usamos a notação em português no enunciado, podemos escrever
como
; portanto a igualdade fica
que é exatamente o que se pedia provar.
Passo 4
Para fixar bem a ideia, transformamos a identidade em duas formas alternativas úteis (isso ajuda bastante na prova e na resolução de exercícios): usar a identidade pitagórica
A partir de
podemos escrever
ou, substituindo
,
Essas formas alternativas são muito práticas:
e
. Todas são equivalentes e derivam diretamente da identidade principal que provamos.
Passo 5
Um cheque rápido com um valor concreto para ganhar confiança: escolha
(ou
rad). Sabendo que
e
,
e
. Batem certinho — sinal de que a identidade está correta e operacional.