Exercício 32. Utilizando as fórmulas de somas de arcos, prove que:
a) \operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}{1-\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta}.
b) \left(1+\operatorname{tg} 1^{\circ}\right)\left(1+\operatorname{tg} 44^{\circ}\right)=2.
c) se \alpha+\beta=45^{\circ}, então \left(1+\operatorname{tg} \alpha^{\circ}\right)\left(1+\operatorname{tg} \beta^{\circ}\right)=2.
d) \left(1+\operatorname{tg} 1^{\circ}\right)\left(1+\operatorname{tg} 2^{\circ}\right) \ldots\left(1+\operatorname{tg} 44^{\circ}\right) é quadrado perfeito.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados relevantes.
  • O enunciado pede quatro coisas:
    a) provar a fórmula de soma para a tangente: \operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\dfrac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{tg}\beta}.
    b) mostrar que \left(1+\operatorname{tg}1^{\circ}\right)\left(1+\operatorname{tg}44^{\circ}\right)=2.
    c) provar que, se \alpha+\beta=45^{\circ}, então \left(1+\operatorname{tg}\alpha^{\circ}\right)\left(1+\operatorname{tg}\beta^{\circ}\right)=2.
    d) provar que o produto \left(1+\operatorname{tg}1^{\circ}\right)\left(1+\operatorname{tg}2^{\circ}\right)\cdots\left(1+\operatorname{tg}44^{\circ}\right) é um quadrado perfeito.
  • Informações/valores úteis que sabemos (e que podem ser usados):
    • A tangente é definida como razão seno sobre cosseno: \operatorname{tg}\theta=\dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}, sempre que \cos\theta\neq0.
    • O valor \operatorname{tg}45^{\circ}=1.
A partir daqui vou provar (a) e em seguida usar (a) para resolver (b), (c) e (d), explicando cada passo com calma.

Passo 2

Provar (a): derivação da fórmula da tangente da soma de ângulos.
Primeiro, usar a definição da tangente e as fórmulas de soma para seno e cosseno. Lembrando as fórmulas de soma:
\operatorname{sen}(\alpha+\beta)=\operatorname{sen}\alpha\cos\beta+\cos\alpha\operatorname{sen}\beta
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta
Agora escrevemos a tangente como seno sobre cosseno:
\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\dfrac{\operatorname{sen}(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}.
Substituindo as fórmulas de soma no quociente, obtemos
\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha\cos\beta+\cos\alpha\operatorname{sen}\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta}.
Para ligar isso a \operatorname{tg}\alpha e \operatorname{tg}\beta, dividimos numerador e denominador por \cos\alpha\cos\beta. Estou assumindo aqui que \cos\alpha\cos\beta\neq0 (caso contrário a tangente não estaria definida nesses ângulos). Fazendo a divisão:
\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\dfrac{\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}+\dfrac{\operatorname{sen}\beta}{\cos\beta}}{1-\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\cdot\dfrac{\operatorname{sen}\beta}{\cos\beta}}.
Agora reconhecemos as tangentes nos quocientes \dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha e \dfrac{\operatorname{sen}\beta}{\cos\beta}=\operatorname{tg}\beta. Portanto:
\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\dfrac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{tg}\beta}.
Isso prova (a). Observação didática rápida: a ideia-chave foi transformar seno e cosseno em termos de tangente dividindo por \cos\alpha\cos\beta; isso é um truque padrão para relacionar identidades com tangente.

Passo 3

Provar (b): calcular \left(1+\operatorname{tg}1^{\circ}\right)\left(1+\operatorname{tg}44^{\circ}\right).
Usamos (a) com \alpha=1^{\circ} e \beta=44^{\circ}. Como 1^{\circ}+44^{\circ}=45^{\circ}, aplicando (a) temos:
\operatorname{tg}45^{\circ}=\dfrac{\operatorname{tg}1^{\circ}+\operatorname{tg}44^{\circ}}{1-\operatorname{tg}1^{\circ}\cdot\operatorname{tg}44^{\circ}}.
Sabemos que \operatorname{tg}45^{\circ}=1, então:
1=\dfrac{\operatorname{tg}1^{\circ}+\operatorname{tg}44^{\circ}}{1-\operatorname{tg}1^{\circ}\cdot\operatorname{tg}44^{\circ}}.
Multiplicando ambos os lados por 1-\operatorname{tg}1^{\circ}\operatorname{tg}44^{\circ} obtemos:
1-\operatorname{tg}1^{\circ}\operatorname{tg}44^{\circ}=\operatorname{tg}1^{\circ}+\operatorname{tg}44^{\circ}.
Reorganizando para isolar a soma:
\operatorname{tg}1^{\circ}+\operatorname{tg}44^{\circ}=1-\operatorname{tg}1^{\circ}\operatorname{tg}44^{\circ}.
Agora expandimos o produto que queremos:
\left(1+\operatorname{tg}1^{\circ}\right)\left(1+\operatorname{tg}44^{\circ}\right)=1+\operatorname{tg}1^{\circ}+\operatorname{tg}44^{\circ}+\operatorname{tg}1^{\circ}\operatorname{tg}44^{\circ}.
Substituímos a expressão para \operatorname{tg}1^{\circ}+\operatorname{tg}44^{\circ} obtida acima:
1+\bigl(1-\operatorname{tg}1^{\circ}\operatorname{tg}44^{\circ}\bigr)+\operatorname{tg}1^{\circ}\operatorname{tg}44^{\circ}=1+1=2.
Portanto \left(1+\operatorname{tg}1^{\circ}\right)\left(1+\operatorname{tg}44^{\circ}\right)=2, provando (b).

Passo 4

Provar (c): caso geral quando \alpha+\beta=45^{\circ}.
O raciocínio é idêntico ao do Passo 3, só que agora com \alpha e \beta genéricos (em graus) tais que \alpha+\beta=45^{\circ}. Aplicando (a) obtemos:
\operatorname{tg}45^{\circ}=\dfrac{\operatorname{tg}\alpha^{\circ}+\operatorname{tg}\beta^{\circ}}{1-\operatorname{tg}\alpha^{\circ}\operatorname{tg}\beta^{\circ}}.
Como \operatorname{tg}45^{\circ}=1, segue
\operatorname{tg}\alpha^{\circ}+\operatorname{tg}\beta^{\circ}=1-\operatorname{tg}\alpha^{\circ}\operatorname{tg}\beta^{\circ}.
Expandindo \left(1+\operatorname{tg}\alpha^{\circ}\right)\left(1+\operatorname{tg}\beta^{\circ}\right) e substituindo a soma:
\left(1+\operatorname{tg}\alpha^{\circ}\right)\left(1+\operatorname{tg}\beta^{\circ}\right)=1+\operatorname{tg}\alpha^{\circ}+\operatorname{tg}\beta^{\circ}+\operatorname{tg}\alpha^{\circ}\operatorname{tg}\beta^{\circ}
=1+\bigl(1-\operatorname{tg}\alpha^{\circ}\operatorname{tg}\beta^{\circ}\bigr)+\operatorname{tg}\alpha^{\circ}\operatorname{tg}\beta^{\circ}=2.
Portanto (c) está provado: sempre que \alpha+\beta=45^{\circ} o produto vale 2.

Passo 5

Provar (d): mostrar que o produto \prod_{k=1}^{44}\left(1+\operatorname{tg}k^{\circ}\right) é um quadrado perfeito.
A ideia é agrupar os fatores em pares cujos ângulos somam 45^{\circ}. Para cada k com 1\le k\le44 o par natural é k e 45-k (por exemplo 1 com 44, 2 com 43, etc.). Pelo item (c), para cada par:
\left(1+\operatorname{tg}k^{\circ}\right)\left(1+\operatorname{tg}(45-k)^{\circ}\right)=2.
Como existem 44 fatores, temos exatamente 22 pares distintos (k,45-k). Logo o produto total é
\prod_{k=1}^{44}\left(1+\operatorname{tg}k^{\circ}\right)=2^{22}.
Como 2^{22}=(2^{11})^{2}, isso é um quadrado perfeito. Portanto o produto pedido é um quadrado perfeito (e, mais forte, igual a \,2^{22}\,).

Resposta

a) \operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\dfrac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{tg}\beta}
b) \left(1+\operatorname{tg}1^{\circ}\right)\left(1+\operatorname{tg}44^{\circ}\right)=2
c) Se \alpha+\beta=45^{\circ}, então \left(1+\operatorname{tg}\alpha^{\circ}\right)\left(1+\operatorname{tg}\beta^{\circ}\right)=2
d) \displaystyle\prod_{k=1}^{44}\left(1+\operatorname{tg}k^{\circ}\right)=2^{22} (logo é um quadrado perfeito)

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