Exercício 32. Utilizando as fórmulas de somas de arcos, prove que:
a)
.
b)
.
c) se
, então
.
d)
é quadrado perfeito.
a)
b)
c) se
d)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados relevantes.
-
O enunciado pede quatro coisas:
a) provar a fórmula de soma para a tangente:.
b) mostrar que.
c) provar que, se, então .
d) provar que o produtoé um quadrado perfeito. -
Informações/valores úteis que sabemos (e que podem ser usados):
- A tangente é definida como razão seno sobre cosseno:
, sempre que . - O valor
.
- A tangente é definida como razão seno sobre cosseno:
A partir daqui vou provar (a) e em seguida usar (a) para resolver (b), (c) e (d), explicando cada passo com calma.
Passo 2
Provar (a): derivação da fórmula da tangente da soma de ângulos.
Primeiro, usar a definição da tangente e as fórmulas de soma para seno e cosseno. Lembrando as fórmulas de soma:
Agora escrevemos a tangente como seno sobre cosseno:
Substituindo as fórmulas de soma no quociente, obtemos
Para ligar isso a
e
, dividimos numerador e denominador por
. Estou assumindo aqui que
(caso contrário a tangente não estaria definida nesses ângulos). Fazendo a divisão:
Agora reconhecemos as tangentes nos quocientes
e
. Portanto:
Isso prova (a). Observação didática rápida: a ideia-chave foi transformar seno e cosseno em termos de tangente dividindo por
; isso é um truque padrão para relacionar identidades com tangente.
Passo 3
Provar (b): calcular
.
Usamos (a) com
e
. Como
, aplicando (a) temos:
Sabemos que
, então:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Reorganizando para isolar a soma:
Agora expandimos o produto que queremos:
Substituímos a expressão para
obtida acima:
Portanto
, provando (b).
Passo 4
Provar (c): caso geral quando
.
O raciocínio é idêntico ao do Passo 3, só que agora com
e
genéricos (em graus) tais que
. Aplicando (a) obtemos:
Como
, segue
Expandindo
e substituindo a soma:
Portanto (c) está provado: sempre que
o produto vale
.
Passo 5
Provar (d): mostrar que o produto
é um quadrado perfeito.
A ideia é agrupar os fatores em pares cujos ângulos somam
. Para cada
com
o par natural é
e
(por exemplo
com
,
com
, etc.). Pelo item (c), para cada par:
Como existem
fatores, temos exatamente
pares distintos
. Logo o produto total é
Como
, isso é um quadrado perfeito. Portanto o produto pedido é um quadrado perfeito (e, mais forte, igual a
).
Resposta
a)
b)
c) Se
, então
d)
(logo é um quadrado perfeito)