Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede o esboço rigoroso do gráfico da função
incluindo domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas. Para isso, vamos usar:
• fatoração de polinômios para achar domínio e simplificar a função;
• limites para estudar assíntotas verticais e horizontais;
• derivadas primeira e segunda para crescimento/decrescimento e concavidade;
• identificação de raízes e de descontinuidades removíveis.
• fatoração de polinômios para achar domínio e simplificar a função;
• limites para estudar assíntotas verticais e horizontais;
• derivadas primeira e segunda para crescimento/decrescimento e concavidade;
• identificação de raízes e de descontinuidades removíveis.
Passo 2
Fatoremos numerador e denominador:
Logo
O domínio original é
. Como
cancela, a forma simplificada é
Em
há descontinuidade removível (furo); em
há descontinuidade essencial (assistência vertical).
Passo 3
Limites em torno de
:
Limites no infinito:
Em
, o valor limite existe e vale
mas
não está definido (furo em
).
Passo 4
Raízes de
: zeros do numerador simplificado
dão
. O zero
foi cancelado e não está no domínio, logo a única raiz é em
.
Intercepto com eixo :
, ponto
.
Intercepto com eixo
Passo 5
Derivada primeira da forma simplificada:
Como
para todo
, temos
em cada intervalo de domínio. Logo,
é estritamente crescente em
, em
e em
. Não há pontos de máximo ou mínimo locais.
Passo 6
Derivada segunda:
Para
,
faz
: concavidade para cima em
.
Para ,
faz
: concavidade para baixo em
.
Não há ponto de inflexão no domínio (a mudança de concavidade ocorre em , que é assíntota vertical).
Para
Não há ponto de inflexão no domínio (a mudança de concavidade ocorre em
Passo 7
Assíntotas:
• Vertical em .
• Horizontal em , pois
.
• Descontinuidade removível (furo) em .
• Vertical em
• Horizontal em
• Descontinuidade removível (furo) em
Passo 8
Resumo do comportamento em cada intervalo de domínio:
– Em :
cresce, é côncava para cima, parte de
quando
até o furo em
.
– Em : continua crescendo e côncava para cima, vai de
até
quando
.
– Em : retoma em
em
, cresce e é côncava para baixo, cruza o eixo em
e se aproxima de
por baixo quando
.
– Em
– Em
– Em
Resposta
Domínio:
Furo em
Assíntotas: (vertical),
(horizontal)
Raiz:
Monotonia: crescente em cada intervalo de domínio
Concavidade: cima em , baixo em
Sem pontos críticos nem pontos de inflexão no domínio.
Furo em
Assíntotas:
Raiz:
Monotonia: crescente em cada intervalo de domínio
Concavidade: cima em
Sem pontos críticos nem pontos de inflexão no domínio.