Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
f(x)=\frac{x^{2}-49}{x^{2}+5 x-14}

Passo 1

O enunciado pede o esboço rigoroso do gráfico da função
f(x)=\frac{x^{2}-49}{x^{2}+5x-14},
incluindo domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas. Para isso, vamos usar:
• fatoração de polinômios para achar domínio e simplificar a função;
• limites para estudar assíntotas verticais e horizontais;
• derivadas primeira e segunda para crescimento/decrescimento e concavidade;
• identificação de raízes e de descontinuidades removíveis.

Passo 2

Fatoremos numerador e denominador:
x^2-49=(x-7)(x+7), \qquad x^2+5x-14=(x+7)(x-2).
Logo
f(x)=\frac{(x-7)(x+7)}{(x+7)(x-2)}.
O domínio original é \mathbb{R}\setminus\{-7,2\}. Como x+7 cancela, a forma simplificada é
f(x)=\frac{x-7}{x-2},\quad x\neq -7,2.
Em x=-7 há descontinuidade removível (furo); em x=2 há descontinuidade essencial (assistência vertical).

Passo 3

Limites em torno de x=2:
\lim_{x\to2^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=-\infty.
Limites no infinito:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(1-\frac{5}{x-2}\Bigr)=1.
Em x=-7, o valor limite existe e vale
\lim_{x\to-7}f(x) =\frac{-7-7}{-7-2} =\frac{-14}{-9} =\frac{14}{9},
mas f(-7) não está definido (furo em (-7,14/9)).

Passo 4

Raízes de f: zeros do numerador simplificado x-7=0 dão x=7. O zero x=-7 foi cancelado e não está no domínio, logo a única raiz é em (7,0).
Intercepto com eixo y: f(0)=\tfrac{0-7}{0-2}=7/2, ponto \bigl(0,\tfrac72\bigr).

Passo 5

Derivada primeira da forma simplificada:
f(x)=1-\frac{5}{x-2}, \qquad f'(x)=\frac{5}{(x-2)^2}.
Como (x-2)^2>0 para todo x\neq2, temos f'(x)>0 em cada intervalo de domínio. Logo, f é estritamente crescente em (-\infty,-7), em (-7,2) e em (2,\infty). Não há pontos de máximo ou mínimo locais.

Passo 6

Derivada segunda:
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{5}{(x-2)^2}\Bigr) =-\frac{10}{(x-2)^3}.
Para x<2, (x-2)^3<0 faz f''(x)>0: concavidade para cima em (-\infty,2)\setminus\{-7\}.
Para x>2, (x-2)^3>0 faz f''(x)<0: concavidade para baixo em (2,\infty).
Não há ponto de inflexão no domínio (a mudança de concavidade ocorre em x=2, que é assíntota vertical).

Passo 7

Assíntotas:
• Vertical em x=2.
• Horizontal em y=1, pois \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1.
• Descontinuidade removível (furo) em \bigl(-7,\tfrac{14}{9}\bigr).

Passo 8

Resumo do comportamento em cada intervalo de domínio:
– Em (-\infty,-7): f cresce, é côncava para cima, parte de y\to1^+ quando x\to-\infty até o furo em \bigl(-7,\tfrac{14}{9}\bigr).
– Em (-7,2): continua crescendo e côncava para cima, vai de f(-7^+)=14/9 até +\infty quando x\to2^-.
– Em (2,\infty): retoma em -\infty em x\to2^+, cresce e é côncava para baixo, cruza o eixo em (7,0) e se aproxima de y=1 por baixo quando x\to+\infty.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{-7,2\}
Furo em \bigl(-7,\tfrac{14}{9}\bigr)
Assíntotas: x=2 (vertical), y=1 (horizontal)
Raiz: (7,0)
Monotonia: crescente em cada intervalo de domínio
Concavidade: cima em (-\infty,2), baixo em (2,\infty)
Sem pontos críticos nem pontos de inflexão no domínio.

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