Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
f(x)=\frac{9}{9+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce com rigor o gráfico de
f(x) = \frac{9}{9 + x^{2}}
e, para isso, vamos encontrar: o domínio, possíveis raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas. Como a função é uma razão de polinômios, o domínio inicial é todo \mathbb{R}.

Passo 2

Domínio e interceptos.
O denominador 9 + x^{2} nunca se anula para x\in\mathbb{R}, então o domínio é
\mathrm{Dom}(f) = (-\infty,\infty).
Para as raízes (interseção com o eixo x), resolveríamos 9/(9+x^{2})=0, mas como o numerador é constante não há solução. Logo, não existem zeros. O intercepto com o eixo y é
f(0) = \frac{9}{9+0} = 1,
isto é, o gráfico passa em (0,1).

Passo 3

Monotonicidade e ponto crítico.
Calculemos a derivada primeira por regra do quociente ou produto:
f'(x) = -\frac{9\cdot 2x}{(9 + x^{2})^{2}} = -\frac{18x}{(9 + x^{2})^{2}}.
Anulando f'(x)=0 x=0, o único ponto crítico. O sinal de f'(x):
  • Para x<0, f'(x)>0 (já que -18x>0), então f cresce em (-\infty,0).
  • Para x>0, f'(x)<0, então f decresce em (0,\infty).
    Em x=0 temos um máximo local, com valor f(0)=1.

Passo 4

Concavidade e pontos de inflexão.
A derivada segunda é
f''(x) = \frac{54\,(x^{2}-3)}{(9 + x^{2})^{3}}.
Anula-se em x^{2}-3=0, ou seja, x=\pm\sqrt{3}. O sinal de f'' mostra:
  • Para -\sqrt{3}<x<\sqrt{3}, tem-se x^{2}-3<0, logo f''(x)<0 e a curva é côncava para baixo.
  • Para |x|>\sqrt{3}, x^{2}-3>0, logo f''(x)>0 e a curva é côncava para cima.
    Assim, há pontos de inflexão em x=\pm\sqrt{3}. Os valores são
f(\pm\sqrt{3}) = \frac{9}{9 + 3} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}.

Passo 5

Limites e assíntotas.
À medida que x\to\pm\infty,
f(x) = \frac{9}{9 + x^{2}} \longrightarrow 0.
Logo, existe assíntota horizontal em
y = 0.
Não há assíntota vertical nem oblíqua, pois o denominador nunca se anula e o grau do numerador é menor que o do denominador.

Resposta

A curva de f(x)=9/(9+x^{2}) tem domínio \mathbb{R}, não cruza o eixo x, cruza o eixo y em (0,1), apresenta máximo em (0,1), cresce em (-\infty,0) e decresce em (0,\infty), tem pontos de inflexão em \bigl(\pm\sqrt{3},\,3/4\bigr), concavidade para baixo em (-\sqrt{3},\sqrt{3}) e para cima em (-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},\infty), e assíntota horizontal y=0.

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