Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
f(x)=\frac{4 x+5}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce com rigor o gráfico de
f(x)=\frac{4x+5}{x^2-1}
e, para isso, vamos precisar de domínio, raízes, interceptos, assíntotas (verticais e horizontais), limites laterais, derivada para monotonicidade e extremos, segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Domínio: o denominador não pode ser zero, logo
x^2-1\neq0\implies x\neq\pm1.
Interceptos:
– Eixo x: resolve-se 4x+5=0, daí x=-\tfrac54, então ponto \bigl(-\tfrac54,0\bigr).
– Eixo y: em x=0,
f(0)=\frac{5}{-1}=-5,
logo (0,-5).
Assíntotas verticais em x=1 e x=-1. Para os limites laterais:
\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty,
\lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-1^+}f(x)=-\infty.
Assíntota horizontal: como grau do denominador (2) > grau do numerador (1), temos
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0,
isto é, y=0.

Passo 3

Derivada primeira para monotonicidade:
f'(x) =\frac{(4)(x^2-1)-(4x+5)\,2x}{(x^2-1)^2} =-\frac{4x^2+10x+4}{(x^2-1)^2}.
O numerador zera em
4x^2+10x+4=0\implies x=-2,\;x=-\tfrac12.
Como (x^2-1)^2>0 sempre, o sinal de f' é o oposto do sinal de 4x^2+10x+4. Isso dá:
x<-2: 4x^2+10x+4>0 \implies f'<0 (decrescente).
-2<x<-\tfrac12: 4x^2+10x+4<0 \implies f'>0 (crescente).
x>-\tfrac12: 4x^2+10x+4>0 \implies f'<0 (decrescente).
Logo há mínimo local em x=-2 e máximo local em x=-\tfrac12.
Valores:
f(-2)=\frac{-8+5}{4-1}=-1,\quad f\bigl(-\tfrac12\bigr)=\frac{-2+5}{\tfrac14-1}=-4.

Passo 4

Derivada segunda para concavidade:
f''(x) =\frac{8x^3+30x^2+24x+10}{(x^2-1)^3}.
O numerador é um cúbico com uma única raiz real x\approx-2{,}85. Analisando o sinal em cada intervalo e lembrando que (x^2-1)^3 muda de sinal em x=\pm1, obtemos:
(-\infty,-2{,}85): f''<0 (côncavo para baixo).
(-2{,}85,-1): f''>0 (côncavo para cima).
(-1,1): f''<0 (côncavo para baixo).
(1,\infty): f''>0 (côncavo para cima).
Ponto de inflexão em x\approx-2{,}85, onde
f(-2{,}85)\approx\frac{4(-2{,}85)+5}{(-2{,}85)^2-1}\approx -0{,}90.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{\pm1\}.
Interceptos: \bigl(-\tfrac54,0\bigr) e (0,-5).
Assíntotas verticais: x=1, x=-1.
Assíntota horizontal: y=0.
Monotonicidade:
– Decrescente em (-\infty,-2)\cup(-\tfrac12,\,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty) ajustado aos cortes do domínio,
– Crescente em (-2,-\tfrac12).
Extremos locais: mínimo em (-2,-1), máximo em \bigl(-\tfrac12,-4\bigr).
Concavidade:
– Côncavo para baixo em (-\infty,-2{,}85), (-1,1),
– Côncavo para cima em (-2{,}85,-1), (1,\infty).
Ponto de inflexão em \bigl(-2{,}85,\,-0{,}90\bigr).
Gráfico esboçado a partir dessas informações.

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