Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede que a gente esboce com rigor o gráfico de
e, para isso, vamos precisar de domínio, raízes, interceptos, assíntotas (verticais e horizontais), limites laterais, derivada para monotonicidade e extremos, segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão.
Passo 2
Domínio: o denominador não pode ser zero, logo
Interceptos:
– Eixo : resolve-se
, daí
, então ponto
.
– Eixo : em
,
– Eixo
– Eixo
logo
.
Assíntotas verticais em e
. Para os limites laterais:
Assíntotas verticais em
Assíntota horizontal: como grau do denominador (2) > grau do numerador (1), temos
isto é,
.
Passo 3
Derivada primeira para monotonicidade:
O numerador zera em
Como
sempre, o sinal de
é o oposto do sinal de
. Isso dá:
– :
(decrescente).
– :
(crescente).
– :
(decrescente).
Logo há mínimo local em e máximo local em
.
Valores:
–
–
–
Logo há mínimo local em
Valores:
Passo 4
Derivada segunda para concavidade:
O numerador é um cúbico com uma única raiz real
. Analisando o sinal em cada intervalo e lembrando que
muda de sinal em
, obtemos:
– :
(côncavo para baixo).
– :
(côncavo para cima).
– :
(côncavo para baixo).
– :
(côncavo para cima).
Ponto de inflexão em , onde
–
–
–
–
Ponto de inflexão em
Resposta
Domínio:
.
Interceptos: e
.
Assíntotas verticais: ,
.
Assíntota horizontal: .
Monotonicidade:
– Decrescente em ajustado aos cortes do domínio,
– Crescente em .
Extremos locais: mínimo em , máximo em
.
Concavidade:
– Côncavo para baixo em ,
,
– Côncavo para cima em ,
.
Ponto de inflexão em .
Gráfico esboçado a partir dessas informações.
Interceptos:
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Monotonicidade:
– Decrescente em
– Crescente em
Extremos locais: mínimo em
Concavidade:
– Côncavo para baixo em
– Côncavo para cima em
Ponto de inflexão em
Gráfico esboçado a partir dessas informações.