Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede o esboço rigoroso do gráfico da função
calculando domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas. Para isso vamos aplicar análise de funções racionais, derivadas e comportamento assintótico.
Passo 2
Determinar domínio e raízes.
O denominador se anula em , isto é, em
. Logo
O denominador se anula em
As raízes vêm de
, ou seja
Como
, essa raiz está no intervalo
.
Passo 3
Assíntotas verticais e limites laterais em
.
Para e
, o denominador muda de sinal passando por zero, logo
Para
Analogamente em
:
Portanto há assíntotas verticais em
e em
.
Passo 4
Limites no infinito e assíntota horizontal.
Como o grau do numerador é menor que o do denominador
,
Como o grau do numerador
Isto mostra que há uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Derivada primeira e monotonicidade.
Calculamos
Calculamos
O numerador
tem raízes em
e
. Como o denominador é sempre positivo nos intervalos do domínio, o sinal de
é oposto ao numerador. Concluímos:
-
em , em e em : decresce. -
em e em : cresce.
Logo temos pontos críticos eme , com
Passo 6
Derivada segunda, concavidade e ponto de inflexão.
Obtemos
Obtemos
O numerador é um polinômio cúbico que se anula apenas em
. Analisando o sinal de
em cada região:
- Para
: e concavidade para baixo. - Para
: e concavidade para cima. - Para
: mas numerador : concavidade para baixo. - Para
: em concavidade para cima.
Assim há um único ponto de inflexão em.
Passo 7
Principais pontos e interceptos.
- Intercepto com eixo
: . - Raiz:
. - Pontos críticos:
(mínimo local em ) e (máximo local em ). - Inflexão em
.
Passo 8
Esboço qualitativo do gráfico.
- Em
: decresce até , atinge mínimo local em , depois cresce até a assíntota vertical . A concavidade muda de baixo (para ) para cima (entre e ). - Em
: sai de em , cresce até (máximo local ), depois decresce até , sempre com concavidade voltada para baixo. - Em
: sai de em , decresce monotonicamente com concavidade para cima, aproximando-se de em .
Resposta
Segue o resumo das características de
:
Domínio:
Raiz: em
Intercepto :
Assíntotas verticais: e
Assíntota horizontal:
Pontos críticos: (mínimo local),
(máximo local)
Ponto de inflexão:
Cresce em e
; decresce nos demais subintervalos do domínio
Concavidade: para baixo em , para cima em
, para baixo em
, para cima em
Raiz:
Intercepto
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Pontos críticos:
Ponto de inflexão:
Cresce em
Concavidade: para baixo em
Essas informações permitem traçar o gráfico observando os comportamentos em cada região.