Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
f(x)=\frac{4 x+5}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede o esboço rigoroso do gráfico da função
f(x)=\frac{4x+5}{x^2-1},
calculando domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas. Para isso vamos aplicar análise de funções racionais, derivadas e comportamento assintótico.

Passo 2

Determinar domínio e raízes.
O denominador se anula em x^2-1=0, isto é, em x=\pm1. Logo
\text{Domínio} = (-\infty,-1)\,\cup\,(-1,1)\,\cup\,(1,\infty).í
As raízes vêm de 4x+5=0, ou seja
x=-\frac{5}{4}.
Como -5/4\approx-1,25, essa raiz está no intervalo (-\infty,-1).

Passo 3

Assíntotas verticais e limites laterais em x=\pm1.
Para x\to1^- e x\to1^+, o denominador muda de sinal passando por zero, logo
\lim_{x\to1^-}f(x) = -\infty, \quad \lim_{x\to1^+}f(x) = +\infty.
Analogamente em x=-1:
\lim_{x\to(-1)^-}f(x)=+\infty, \quad \lim_{x\to(-1)^+}f(x)=-\infty.
Portanto há assíntotas verticais em x=1 e em x=-1.

Passo 4

Limites no infinito e assíntota horizontal.
Como o grau do numerador 1 é menor que o do denominador 2,
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0.
Isto mostra que há uma assíntota horizontal em y=0.

Passo 5

Derivada primeira e monotonicidade.
Calculamos
f'(x) =\frac{(4)(x^2-1)-(4x+5)\,2x}{(x^2-1)^2} =-\frac{4x^2+10x+4}{(x^2-1)^2}.
O numerador 4x^2+10x+4 tem raízes em x=-2 e x=-\tfrac12. Como o denominador é sempre positivo nos intervalos do domínio, o sinal de f' é oposto ao numerador. Concluímos:
  • f'(x)<0 em (-\infty,-2), em (-\tfrac12,1) e em (1,\infty): decresce.
  • f'(x)>0 em (-2,-1) e em (-1,-\tfrac12): cresce.
    Logo temos pontos críticos em x=-2 e x=-\tfrac12, com
f(-2)=-1, \quad f\bigl(-\tfrac12\bigr)=-4.

Passo 6

Derivada segunda, concavidade e ponto de inflexão.
Obtemos
f''(x) =\frac{8x^3+30x^2+24x+10}{(x^2-1)^3}.
O numerador é um polinômio cúbico que se anula apenas em x\approx-2{,}85. Analisando o sinal de f'' em cada região:
  • Para x<-2{,}85: f''(x)<0 e |x|>1 \implies concavidade para baixo.
  • Para -2{,}85<x<-1: f''(x)>0 e |x|>1 \implies concavidade para cima.
  • Para -1<x<1: (x^2-1)^3<0 mas numerador >0 \implies f''(x)<0: concavidade para baixo.
  • Para x>1: f''(x)>0 em |x|>1 \implies concavidade para cima.
    Assim há um único ponto de inflexão em x\approx-2{,}85.

Passo 7

Principais pontos e interceptos.
  • Intercepto com eixo y: f(0)=5/(-1)=-5.
  • Raiz: \bigl(-\tfrac54,0\bigr).
  • Pontos críticos: (-2,-1) (mínimo local em (-\infty,-1)) e \bigl(-\tfrac12,-4\bigr) (máximo local em (-1,1)).
  • Inflexão em ( -2{,}85\,,\,f(-2{,}85) ).

Passo 8

Esboço qualitativo do gráfico.
  • Em (-\infty,-1): decresce até x=-2, atinge mínimo local em (-2,-1), depois cresce até a assíntota vertical x=-1. A concavidade muda de baixo (para x<-2{,}85) para cima (entre -2{,}85 e -1).
  • Em (-1,1): sai de -\infty em x=-1^+, cresce até x=-\tfrac12 (máximo local -4), depois decresce até x=1^-, sempre com concavidade voltada para baixo.
  • Em (1,\infty): sai de +\infty em x=1^+, decresce monotonicamente com concavidade para cima, aproximando-se de y=0 em +\infty.

Resposta

Segue o resumo das características de f(x)=\tfrac{4x+5}{x^2-1}:
Domínio: (-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)
Raiz: x=-\tfrac{5}{4} em \bigl(-\tfrac54,0\bigr)
Intercepto y: (0,-5)
Assíntotas verticais: x=-1 e x=1
Assíntota horizontal: y=0
Pontos críticos: (-2,-1) (mínimo local), \bigl(-\tfrac12,-4\bigr) (máximo local)
Ponto de inflexão: x\approx -2,85
Cresce em (-2,-1) e (-1,-\tfrac12); decresce nos demais subintervalos do domínio
Concavidade: para baixo em (-\infty,-2,85), para cima em (-2,85,-1), para baixo em (-1,1), para cima em (1,\infty)
Essas informações permitem traçar o gráfico observando os comportamentos em cada região.

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