Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
f(x)=\operatorname{senh}(x)

Passo 1

O enunciado pede o esboço rigoroso do gráfico de f(x)=\senh(x). O conteúdo é estudo de função real: domínio, raiz, derivadas para pontos críticos e monotonia, segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão, limites laterais e no infinito, e assíntotas.

Passo 2

Encontramos o domínio de f. A função hiperbólica \senh(x) está definida por
\senh(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2},
e não apresenta restrição de x. Logo, o domínio é todo o conjunto dos reais:
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

A raiz de f satisfaz \senh(x)=0. Como e^x - e^{-x}=0 implica e^{2x}=1, obtemos x=0.
Portanto, o único zero é em (0,0).

Passo 4

Calculamos a derivada para analisar monotonia:
f'(x)=\frac{d}{dx}\senh(x)=\operatorname{cosh}(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{2}.
Sabemos que \operatorname{cosh}(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}. Logo, não há pontos críticos (nenhum f'(x)=0) e f é estritamente crescente em \mathbb{R}.

Passo 5

Agora a segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão:
f''(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x)=\senh(x).
Como \senh(x)<0 para x<0 e \senh(x)>0 para x>0, conclui-se:
  • f é côncava para baixo em (-\infty,0).
  • f é côncava para cima em (0,+\infty).
    O único ponto de inflexão ocorre em x=0.

Passo 6

Analisamos os limites laterais e no infinito:
\lim_{x\to+\infty}\senh(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}\senh(x)=-\infty.
Não há assíntotas verticais nem horizontais, pois a função diverge exponencialmente em ambas as pontas. Também não existem assíntotas oblíquas, já que o crescimento não é de primeira ordem.

Passo 7

Resumo das características e esboço mental do gráfico:
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Raiz única em (0,0).
  • Função ímpar \senh(-x)=-\senh(x), logo simétrica em relação à origem.
  • Crescente em todo \mathbb{R}.
  • Concavidade muda em x=0: côncava para baixo à esquerda e para cima à direita.
  • Infleção em (0,0).
  • Limites \senh(x)\to\pm\infty quando x\to\pm\infty.
O esboço é parecido com uma curva suave passando pela origem, subindo de -\infty (concavidade pra baixo) até o ponto de inflexão em (0,0), e depois continuando a subir (concavidade pra cima) em direção a +\infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=\senh(x) é uma curva ímpar, estritamente crescente, com único zero em (0,0), ponto de inflexão em x=0, côncava para baixo em (-\infty,0) e para cima em (0,+\infty), e sem assíntotas, diverge para +\infty quando x\to+\infty e para -\infty quando x\to-\infty.

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