Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede o esboço rigoroso do gráfico de
. O conteúdo é estudo de função real: domínio, raiz, derivadas para pontos críticos e monotonia, segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão, limites laterais e no infinito, e assíntotas.
Passo 2
Encontramos o domínio de
. A função hiperbólica
está definida por
e não apresenta restrição de
. Logo, o domínio é todo o conjunto dos reais:
Passo 3
A raiz de
satisfaz
. Como
implica
, obtemos
Portanto, o único zero é em .
Portanto, o único zero é em
Passo 4
Calculamos a derivada para analisar monotonia:
Sabemos que
para todo
. Logo, não há pontos críticos (nenhum
) e
é estritamente crescente em
.
Passo 5
Agora a segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão:
Como
para
e
para
, conclui-se:
-
é côncava para baixo em . -
é côncava para cima em .
O único ponto de inflexão ocorre em.
Passo 6
Analisamos os limites laterais e no infinito:
Não há assíntotas verticais nem horizontais, pois a função diverge exponencialmente em ambas as pontas. Também não existem assíntotas oblíquas, já que o crescimento não é de primeira ordem.
Passo 7
Resumo das características e esboço mental do gráfico:
- Domínio:
. - Raiz única em
. - Função ímpar , logo simétrica em relação à origem.
- Crescente em todo
. - Concavidade muda em
: côncava para baixo à esquerda e para cima à direita. - Infleção em
. - Limites
quando
.
O esboço é parecido com uma curva suave passando pela origem, subindo de
(concavidade pra baixo) até o ponto de inflexão em
, e depois continuando a subir (concavidade pra cima) em direção a
.
Resposta
O gráfico de
é uma curva ímpar, estritamente crescente, com único zero em
, ponto de inflexão em
, côncava para baixo em
e para cima em
, e sem assíntotas, diverge para
quando
e para
quando
.