Exercício 4.31 - Livro Ciência e Engenharia de Materiais Uma Introdução - 9^{\mathrm{a}} Ed
Considere uma liga ferro-carbono com estrutura CCC que contenha 0,1 \% \mathrm{C}. Calcule a fração de células unitárias contendo átomos de carbono. Dados: \mathrm{A}_{\mathrm{Fe}}=55,85 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, \mathrm{A}_{\mathrm{c}}=12,011 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, \rho_{\mathrm{Fe}}=7,85, \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, \rho_{\mathrm{c}}=2,25 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}
N_{1}=\left(\frac{N_{A} C_{1}}{\frac{C_{1} A_{1}}{\rho_{1}}+\frac{A_{1}}{\rho_{2}}\left(100-C_{1}\right)}\right)
100
\overline{\frac{C_{1}}{A_{1}}+\frac{C_{2}}{A_{2}}}
\rho_{\text {médio }}=\frac{100}{\frac{C_{1}}{\rho_{1}}+\frac{C_{2}}{\rho_{2}}} \rho_{\text {médio }}=\frac{n A_{\text {médio }}}{V_{C} N_{A}}ééé

Passo 1

O enunciado pede a fração de células unitárias (de rede cúbica de corpo centrado, CCC) que contêm pelo menos um átomo de carbono, numa liga Fe–C com 0,1 % em massa de C.
Conteúdos necessários: converter fração em massa em número de átomos por volume, calcular o número de células unitárias por volume usando a densidade e a massa da célula, depois obter a probabilidade de uma célula conter carbono (modelo de Poisson para ocupações aleatórias de sítios intersticiais).

Passo 2

Calcular o número de átomos de C por c m^{3} da liga. Em 1 c m^{3} de liga, a massa total é aproximadamente a de ferro puro:
m_{\text{liga}} = \rho_{\mathrm{Fe}}\,(1~\text{cm}^3) = 7{,}85~\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}\cdot1~\mathrm{cm}^3 = 7{,}85~\mathrm{g}.
Dessa massa, 0,1 % é de carbono, logo
m_{\mathrm{C}} = 0{,}001\times 7{,}85~\mathrm{g} = 7{,}85\times10^{-3}~\mathrm{g}.
Convertendo em número de átomos de C:
n_{\mathrm{C}} = \frac{m_{\mathrm{C}}}{A_{\mathrm{C}}}\,N_A = \frac{7{,}85\times10^{-3}}{12{,}011} \times 6{,}022\times10^{23} \approx 3{,}94\times10^{20}\\ \text{átomos de C por cm}^3.á

Passo 3

Determinar o volume de uma célula unitária CCC de Fe pela densidade e massa da célula. Cada célula CCC tem 2 átomos de Fe, logo a massa de uma célula é
m_{\text{célula}} = 2\,\frac{A_{\mathrm{Fe}}}{N_A} = 2\,\frac{55{,}85}{6{,}022\times10^{23}}~\mathrm{g} \approx 1{,}85\times10^{-22}~\mathrm{g}.é
O volume da célula vem de
V_{\text{célula}} = \frac{m_{\text{célula}}}{\rho_{\mathrm{Fe}}} = \frac{1{,}85\times10^{-22}}{7{,}85}~\mathrm{cm}^3 \approx 2{,}36\times10^{-23}~\mathrm{cm}^3.éé

Passo 4

O número de células unitárias por c m^{3} é
N_{\text{células}} = \frac{1}{V_{\text{célula}}} \approx \frac{1}{2{,}36\times10^{-23}} \approx 4{,}23\times10^{22}\\ \text{células por cm}^3.ééé

Passo 5

A carga média de átomos de C por célula é
\bar{\lambda} = \frac{n_{\mathrm{C}}}{N_{\text{células}}} = \frac{3{,}94\times10^{20}}{4{,}23\times10^{22}} \approx 9,32\times10^{-3}.é

Passo 6

Modelando a distribuição de átomos de C em células como um processo de Poisson com parâmetro \lambda=\bar{\lambda}, a probabilidade de uma célula ter pelo menos um C é
P(k\ge1) = 1 - P(k=0) = 1 - e^{-\lambda} = 1 - e^{-9{,}32\times10^{-3}} \approx 9,29\times10^{-3}.

Resposta

A fração de células unitárias contendo átomos de carbono é aproximadamente
9{,}3\times10^{-3}\quad(\approx0{,}93\%).

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