Exercício 4.37 - Livro Ciência e Engenharia de Materiais Uma Introdução - \mathbf{9}^{\mathrm{a}} Ed
Tanto o ferro quanto o vanádio possuem estrutura cristalina CCC e o vanádio forma uma solução sólida substitucional para concentrações até aproximadamente 20%p Vanádio a temperatura ambiente. Calcule o comprimento da aresta da célula unitária para um aliga com 90 \% p Fe -10 \%-\mathrm{V}. Dados: \mathrm{A}_{\mathrm{Fe}}= 55,85 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, \mathrm{A}_{\mathrm{V}}=50,94 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, \rho_{\mathrm{Fe}}=7,87, \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, \rho_{\mathrm{V}}=6,10 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}
A_{\text {médio }}=\frac{100}{\frac{C_{1}}{A_{1}}+\frac{C_{2}}{A_{2}}} \quad \rho_{\text {médio }}=\frac{n A_{\text {médio }}}{V_{C} N_{A}} \quad \rho_{\text {médio }}=\frac{100}{\frac{C_{1}}{\rho_{1}}+\frac{C_{2}}{\rho_{2}}}éééé

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da aresta da célula unitária a para uma liga bcc com 90\% em massa de Fe e 10\% de V. Como é solução sólida substitucional, podemos definir uma massa molar média e uma densidade média da liga pela regra das misturas em percentagem em massa, e depois usar
\rho_{\text{médio}} = \frac{n\,A_{\text{médio}}}{V_C\,N_A}éé
onde n=2 para estrutura bcc, V_C = a^3 é o volume da célula unitária e N_A é a constante de Avogadro.

Passo 2

Calcular a massa molar média A_{\text{médio}}é pela expressão
A_{\text{médio}} = \frac{100}{\frac{C_{\text{Fe}}}{A_{\text{Fe}}} + \frac{C_{\text{V}}}{A_{\text{V}}}}é
com C_{\text{Fe}}=90, C_{\text{V}}=10, A_{\text{Fe}}=55{,}85 g/mol e A_{\text{V}}=50{,}94 g/mol.
Denominador:
\frac{90}{55{,}85} + \frac{10}{50{,}94} = 1{,}6107 + 0{,}1964 = 1{,}8071
Logo,
A_{\text{médio}} = \frac{100}{1{,}8071} = 55{,}36\text{ g/mol}é

Passo 3

Calcular a densidade média \rho_{\text{médio}}é pela expressão
\rho_{\text{médio}} = \frac{100}{\frac{C_{\text{Fe}}}{\rho_{\text{Fe}}} + \frac{C_{\text{V}}}{\rho_{\text{V}}}}é
com \rho_{\text{Fe}}=7{,}87 g/c m^{3} e \rho_{\text{V}}=6{,}10 g/c m^{3}.
Denominador:
\frac{90}{7{,}87} + \frac{10}{6{,}10} = 11{,}441 + 1{,}639 = 13{,}080
Logo,
\rho_{\text{médio}} = \frac{100}{13{,}080} = 7{,}645\text{ g/cm}^3é

Passo 4

Determinar a usando
V_C = a^3 = \frac{n\,A_{\text{médio}}}{\rho_{\text{médio}}\,N_A}éé
Substituindo n=2, A_{\text{médio}}=55{,}36é g/mol, \rho_{\text{médio}}=7{,}645é g/c m^{3} e N_A=6{,}022\times10^{23} mo l^{-}¹:
V_C = \frac{2 \times 55{,}36}{7{,}645 \times 6{,}022\times10^{23}} =2{,}405\times10^{-23}\text{ cm}^3
Logo,
a = \sqrt[3]{2{,}405\times10^{-23}} =2{,}88\times10^{-8}\text{ cm}
Convertendo para ångströms ( 1,\AA \!=10^{-8} cm):
a = 2{,}88\text{ \AA}

Resposta

O comprimento da aresta da célula unitária é a = 2{,}88,\AA.

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