Exercício 3.31. Seja f: R^2 R diferenciável; verifique que se seu gradiente for constante, digamos nabla f(x)=v para todo x in R^2, então existe um número real a de modo que
f(x)=v cdot x+a
Isto generaliza, e inclui, o caso em que nabla f(x)=v=0 para todo x in R^2, em que f é constante, discutido anteriormente. Dica: fixe x0, considere um x geral e aplique o TVM.

Passo 1

O enunciado diz que f:R^2toR é diferenciável e que
nabla f(vec x)=vec v
é o mesmo vetor para todo vec x. Precisamos mostrar que existe um escalar a tal que
f(vec x)=vec vcdotvec x + a
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema do Valor Médio (TVM) numa linha em R^2 e a regra da cadeia.

Passo 2

Fixe um ponto base vec x0inR^2 e, para um vec x qualquer, defina a função de uma variável
varphi(t)=fl(vec x0 + t(vec x-vec x0)r), tin[0,1]
Note que varphi(0)=f(vec x0) e varphi(1)=f(vec x).

Passo 3

Como f é diferenciável e nabla f é constante igual a vec v, aplicando a regra da cadeia obtemos, para tin(0,1),
varphi'(t) =nabla fl(vec x0 + t(vec x-vec x0)r)cdot(vec x-vec x0) =vec vcdot(vec x-vec x0)

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Médio em [0,1] existe cin(0,1) tal que
varphi(1)-varphi(0) =varphi'(c),(1-0) =vec vcdot(vec x-vec x0)
Isto é,
f(vec x)-f(vec x0) =vec vcdot(vec x-vec x0)

Passo 5

Reescrevendo a última igualdade, temos
f(vec x) =vec vcdotvec x +l(f(vec x0)-vec vcdotvec x0r)
Basta então definir
a = f(vec x0)-vec vcdotvec x0
para concluir que
f(vec x)=vec vcdotvec x + a

Resposta

f(vec x)=vec vcdotvec x + a, a = f(vec x0)-vec vcdotvec x0

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