Exercício 3.31. Seja
diferenciável; verifique que se seu gradiente for constante, digamos
para todo
, então existe um número real
de modo que
Isto generaliza, e inclui, o caso em que
para todo
, em que
é constante, discutido anteriormente. Dica: fixe
, considere um
geral e aplique o TVM.
Passo 1
O enunciado diz que
é diferenciável e que
é o mesmo vetor para todo
. Precisamos mostrar que existe um escalar
tal que
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema do Valor Médio (TVM) numa linha em
e a regra da cadeia.
Passo 2
Fixe um ponto base
e, para um
qualquer, defina a função de uma variável
Note que
e
.
Passo 3
Como
é diferenciável e
é constante igual a
, aplicando a regra da cadeia obtemos, para
,
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Médio em
existe
tal que
Isto é,
Passo 5
Reescrevendo a última igualdade, temos
Basta então definir
para concluir que