• seja f(x)=lle^x & se x >= 0 0 & se x<0
    a-Calcule a integral de menos infinito a mais infinito de f(x) dx
    b-f (x) é uma f0 d0 p
    c-Calcule E(x)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= e^x, & x>=0, 0, & x<0,
e pede:
a) integral-infty^inftyf(x),dx.
b) verificar se f(x) é uma densidade de probabilidade.
c) calcular E(X).
Aqui vamos usar propriedades de integrais impróprias e definição de função densidade.

Passo 2

Calcular
integral-infty^inftyf(x),dx =integral-infty^00,dx+integral0^inftye^x,dx
A primeira parte vale 0. Na segunda,
integral0^inftye^x,dx =limbtoinftyl[e^xr]0^b =limbtoinfty(e^b-e^0) =infty-1 =infty

Passo 3

Para ser densidade de probabilidade, f(x) deve satisfazer:
  1. f(x)>=0 para todo x.
  2. integral-infty^inftyf(x),dx=1.
    Aqui a integral total deu inftyneq1. Logo, f não é uma densidade de probabilidade.

Passo 4

A esperança de X seria
E(X)=integral-infty^inftyx,f(x),dx
Mas como integral f(x),dx=infty, nem faz sentido normalizar, e o integral
integral0^inftyx e^x,dx
também diverge (por partes dá termo be^b quando btoinfty). Portanto E(X) não existe (é infinito).

Resposta

a) integral-infty^inftyf(x),dx=infty.
b) f(x) não é uma densidade de probabilidade.
c) E(X) não existe (é infinito).

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