Exercício 31. Seja Y \mid \nu \sim t_{\nu}\left(\mu, \sigma^{2}\right), em que \mu e \sigma^{2} correspondem aos parâmetros de locação e escala, respectivamente. Neste caso,
em que c\left(\nu, \sigma^{2}\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right) \nu^{\nu / 2}}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right) \sqrt{\pi \sigma^{2}}}.
Terceira lista de exercícios
Estatística Bayesiana
Prof. Michel H. Montoril
(a) Considere \mu=0 e \sigma=1. Determine a função de verossimilhança de \nu;
(b) Mostre que o limite da verossimilhança em (a) quando \nu \rightarrow \infty é uma constante \delta \neq 0. Apresente o valor de \delta;
(c) Mostre que a priori de Jeffreys para \nu é dada por
em que \psi^{(2)}(z)=\frac{d^{2}}{d z^{2}} \log \Gamma(z) corresponde à função trigama e h(\nu)=\frac{2}{\nu+1}-\frac{\nu+2}{\nu(\nu+3)}. Dica: Calcule primeiro E\left[\left(\nu+Y^{2}\right)^{-k}\right]=\int_{-\infty}^{\infty} c(\nu, 1)\left[\nu+y^{2}\right]^{-(\nu+2 k+1) / 2} d y.
Passo 1
O enunciado considera a distribuição de Student com \mu=0 e \sigma=1, ou seja
Supondo uma amostra y_{1},\dots,y_{n} i.i.d. desta distribuição, queremos em (a) a verossimilhança L(\nu), em (b) seu limite quando \nu\to\infty e em (c) a priori de Jeffreys p(\nu)\propto\sqrt{I(\nu)}, onde I(\nu) é a informação de Fisher de um único Y.