Exercício 31. Em um tabuleiro com 6 linhas e 9 colunas, 32 casas estão ocupadas. Podemos afirmar que:
(a) todas as colunas têm pelo menos 3 casas ocupadas.
(b) nenhuma coluna tem mais de 3 casas ocupadas.
(c) alguma coluna não tem casas ocupadas.
(d) alguma linha tem pelo menos 6 casas ocupadas.
(e) todas as linhas têm pelo menos 4 casas ocupadas.

Passo 1

O enunciado apresenta um tabuleiro com 6 linhas e 9 colunas, totalizando 54 casas, das quais 32 estão ocupadas. Queremos usar o princípio da casa dos pombos e desigualdades simples para verificar quais afirmações são verdadeiras em qualquer configuração de 32 ocupações.

Passo 2

Analisando as colunas: com 9 colunas e 32 ocupações, a média de ocupações por coluna é
\frac{32}{9}\approx3{,}56.
Se nenhuma coluna tivesse mais de 3 ocupações, o total máximo seria 9\times3=27<32, o que impede 32 ocupações, tornando (b) falsa. Por outro lado, exigir que todas as colunas tenham pelo menos 3 ocupações daria um mínimo de 9\times3=27, o que não obriga 32, pois poderíamos ter uma coluna com 2 ocupações e compensar nas demais, logo (a) não é necessariamente verdadeira. Também não há obrigação de existir coluna vazia, pois é possível distribuir as 32 ocupações sem deixar nenhuma coluna sem casas ocupadas (por exemplo, cinco colunas com 4 ocupações e quatro colunas com 3 ocupações), de modo que (c) é falsa.

Passo 3

Analisando as linhas: com 6 linhas e 32 ocupações, a média por linha é
\frac{32}{6}\approx5{,}33.
Se todas as linhas tivessem no máximo 5 ocupações, o total máximo seria 6\times5=30<32, gerando contradição. Logo, em todo arranjo alguma linha deve ter pelo menos 6 ocupações, tornando (d) verdadeira.

Passo 4

Para (e), exigir que todas as linhas tenham pelo menos 4 ocupações implica um total mínimo de 6\times4=24, o que é compatível com 32, mas não obrigatório: podemos ter uma linha com 3 ocupações e ainda somar 32 distribuindo mais em outras, assim (e) é falsa.

Resposta

(d)

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