Exercício 32. Quantos são os números naturais de cinco algarismos, na base 10, que têm todos os algarismos distintos e nenhum deles igual a 8,9 ou 0 ? Quantos deles são pares?

Passo 1

O enunciado pede o número de naturais de cinco algarismos (base 10) formados com algarismos distintos que não sejam 0, 8 ou 9, e em seguida quantos desses são pares. O conteúdo usado aqui é contagem de permutações sem repetição.

Passo 2

Como sobram apenas os algarismos
\{1,2,3,4,5,6,7\} (7 opções), o total de formas de preencher 5 posições com todos distintos é
P(7,5) \;=\;7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3 \;=\;2520.

Passo 3

Para contar os pares, o último dígito deve ser um dos pares disponíveis \{2,4,6\} (3 opções). Feito isso, sobra um conjunto de 6 dígitos para ocupar as 4 primeiras posições, todos distintos, o que dá
3 \times P(6,4) \;=\;3 \times (6\cdot5\cdot4\cdot3) \;=\;3 \times 360 \;=\;1080.

Resposta

Total de números de cinco algarismos: 2520.
Total de números pares: 1080.

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