Exercício 32. Calcule, caso exista, \lim a_{n} onde: a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right);
Passo 1
O enunciado dá a sequência \displaystyle a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) e pede para calcular, se existir, \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}.
Informações relevantes fornecidas: a sequência é dada por uma soma finita (dependente de n) onde cada termo é a diferença \displaystyle \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}. O objetivo é obter uma expressão fechada para a_{n} (os somatórios parciais) e então estudar o limite quando n cresce sem limite.
Passo 2
Vamos calcular alguns primeiros termos para observar um padrão (isso ajuda muito na prova, é como espiar a solução antes de provar).
Para n=1:
Observe que em cada par de termos consecutivos o -\dfrac{1}{k+1} cancela com o +\dfrac{1}{k+1} do próximo par. Ou seja, todos os termos intermediários se anulam.
Passo 4
Depois dos cancelamentos sobra apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo:
Portanto conseguimos a expressão fechada para a_{n}:
a_{n}=1-\frac{1}{n+1}.
Passo 5
Agora estudamos o limite quando n\to\infty. Note que \dfrac{1}{n+1} tende a 0 quando n\to\infty. Uma maneira rápida e rigorosa de ver isso: dado \varepsilon>0, escolha N tal que N> \dfrac{1}{\varepsilon}-1. Então, para todo n\ge N vale
Logo \dfrac{1}{n+1}\to 0. Assim, usando que a_{n}=1-\dfrac{1}{n+1}, temos
\lim_{n\to\infty} a_{n}=1-0=1.
Passo 6
Conclusão prática: a sequência de somatórios é telescópica, simplifica-se para 1-\dfrac{1}{n+1} e converge para 1. Se você ver esse tipo de soma na prova, trate de escrever a expansão e mostrar o cancelamento — é rápido e seguro.