Exercício 32. Calcule, caso exista, \lim a_{n} onde:
a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right);

Passo 1

O enunciado dá a sequência \displaystyle a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) e pede para calcular, se existir, \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}.
Informações relevantes fornecidas: a sequência é dada por uma soma finita (dependente de n) onde cada termo é a diferença \displaystyle \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}. O objetivo é obter uma expressão fechada para a_{n} (os somatórios parciais) e então estudar o limite quando n cresce sem limite.

Passo 2

Vamos calcular alguns primeiros termos para observar um padrão (isso ajuda muito na prova, é como espiar a solução antes de provar).
Para n=1:
a_{1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Para n=2:
a_{2}=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Para n=3:
a_{3}=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
Você já percebeu o padrão: parece que a_{n}=1-\dfrac{1}{n+1}. Agora vamos mostrar isso de forma clara.

Passo 3

Façamos a expansão do somatório geral para ver a “mágica” da cancelamento (telescopagem):
\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) =\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).
Observe que em cada par de termos consecutivos o -\dfrac{1}{k+1} cancela com o +\dfrac{1}{k+1} do próximo par. Ou seja, todos os termos intermediários se anulam.

Passo 4

Depois dos cancelamentos sobra apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo:
\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}.
Portanto conseguimos a expressão fechada para a_{n}:
a_{n}=1-\frac{1}{n+1}.

Passo 5

Agora estudamos o limite quando n\to\infty. Note que \dfrac{1}{n+1} tende a 0 quando n\to\infty. Uma maneira rápida e rigorosa de ver isso: dado \varepsilon>0, escolha N tal que N> \dfrac{1}{\varepsilon}-1. Então, para todo n\ge N vale
\left|\frac{1}{n+1}\right|\le\frac{1}{N+1}<\varepsilon.
Logo \dfrac{1}{n+1}\to 0. Assim, usando que a_{n}=1-\dfrac{1}{n+1}, temos
\lim_{n\to\infty} a_{n}=1-0=1.

Passo 6

Conclusão prática: a sequência de somatórios é telescópica, simplifica-se para 1-\dfrac{1}{n+1} e converge para 1. Se você ver esse tipo de soma na prova, trate de escrever a expansão e mostrar o cancelamento — é rápido e seguro.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=1

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