Exercício 33. Calcular a distância entre as retas a x+b y+c=0 ax +b y+d=0.
Passo 1
O enunciado dá duas retas com as equações
a x + b y + c = 0
e
a x + b y + d = 0,
e pede a distância entre elas. Informações relevantes extraídas do enunciado:
Os coeficientes a e b são os mesmos em ambas as equações (logo as retas são paralelas ou coincidentes), salvo o caso degenerado em que a=b=0 (não representa reta).
As constantes independentes são c e d.
A distância entre retas paralelas é a menor distância entre dois pontos, um em cada reta; geometricamente é a distância ao longo da perpendicular comum às retas.
Passo 2
Primeiro observar que as retas têm o mesmo vetor normal. Definir o vetor normal
\mathbf{n}=(a,b).
Esse vetor é perpendicular a cada reta porque seu produto escalar com um vetor diretor da reta é zero. Como os vetores normais das duas equações coincidem, as retas são paralelas (ou coincidentes, se c=d). Também note que devemos ter (a,b)\neq(0,0) para termos retas válidas.
Passo 3
Vamos usar uma fórmula prática: a distância de um ponto P=(x_0,y_0) até a reta
a x + b y + e = 0
é dada por
\frac{\bigl|a x_0 + b y_0 + e\bigr|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
Explicando essa fórmula de forma simples:
O numerador \bigl|a x_0 + b y_0 + e\bigr| é o valor absoluto do “resíduo” ao substituir as coordenadas do ponto na equação da reta; geometricamente é proporcional ao comprimento da projeção do vetor que liga o ponto a qualquer ponto da reta sobre a direção normal \mathbf{n}.
O denominador \sqrt{a^2+b^2} é a norma do vetor normal \mathbf{n}, que normaliza essa projeção para dar uma distância em unidades geométricas.
O valor absoluto aparece porque queremos uma distância não negativa, independe do sinal.
Passo 4
Agora vamos escolher um ponto qualquer P sobre a primeira reta \,a x + b y + c = 0. Para encontrar um ponto é conveniente separar casos simples:
Se b\neq 0, escolha x_0=0. Então resolvendo a reta temos b y_0 + c = 0, isto é
y_0 = -\frac{c}{b},
então um ponto em a x + b y + c = 0 é P=\bigl(0,-\tfrac{c}{b}\bigr).
Se b=0 então necessariamente a\neq 0 (pois não é reta se ambos forem zero). Nesse caso escolha y_0=0 e da equação segue
x_0 = -\frac{c}{a},
então um ponto em a x + b y + c = 0 é P=\bigl(-\tfrac{c}{a},0\bigr).
Em ambos os casos obtemos um ponto P=(x_0,y_0) na primeira reta, com coordenadas escolhidas de modo simples para facilitar contas.
Passo 5
Aplicar a fórmula da distância do ponto P até a segunda reta a x + b y + d = 0. Calculamos o numerador
a x_0 + b y_0 + d.
Usando os pontos escolhidos nos dois subcasos dá sempre:
Se b\neq 0: com x_0=0, y_0=-\dfrac{c}{b},
a x_0 + b y_0 + d = a\cdot 0 + b\left(-\frac{c}{b}\right) + d = -c + d = d-c.
Se b=0 e a\neq 0: com x_0=-\dfrac{c}{a}, y_0=0,
a x_0 + b y_0 + d = a\left(-\frac{c}{a}\right) + b\cdot 0 + d = -c + d = d-c.
Em ambos os casos o numerador é d-c. Tomando o valor absoluto, fica |d-c|.
Passo 6
Portanto a distância entre o ponto P (na primeira reta) e a segunda reta é
\frac{|d-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
Como a distância entre duas retas paralelas é a menor distância entre qualquer ponto de uma e a outra, e escolhemos um ponto arbitrário da primeira reta, o resultado é geral: a distância entre as retas
a x + b y + c = 0
e
a x + b y + d = 0
é \dfrac{|d-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. Observações finais:
Se c=d as retas coincidem e a fórmula dá 0.
É necessário (a,b)\neq(0,0) para que as equações representem retas.