Exercício 38 (Pesquise!). Defina “simetria com relação a uma reta”. Sejam P=(\alpha, \beta) e r: A x+ B y+C=0. Mostre que Q=\left(\alpha-\frac{2 A(A \alpha+B \beta+C)}{A^{2}+B^{2}}, \beta-\frac{2 B(A \alpha+B \beta+C)}{A^{2}+B^{2}}\right) é o ponto simétrico a P com relação à reta r.

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(\alpha,\beta) e a reta r:\;A x + B y + C = 0. Pede para mostrar que
Q=\left(\alpha-\frac{2 A(A \alpha+B \beta+C)}{A^{2}+B^{2}},\;\beta-\frac{2 B(A \alpha+B \beta+C)}{A^{2}+B^{2}}\right)
é o ponto simétrico de P em relação à reta r.
As informações relevantes são:
  • as coordenadas de P: \alpha e \beta;
  • os coeficientes da reta r: A, B e C;
  • o que se quer provar: que o ponto Q dado acima é o reflexo de P em relação a r (isto é, r é a mediatriz perpendicular do segmento \overline{PQ}).

Passo 2

Definição (explicada de forma simples). Dizer que Q é o simétrico de P em relação à reta r significa exatamente duas coisas:
  1. A projeção ortogonal de P sobre r, que chamaremos de H, é o ponto médio do segmento \overline{PQ}.
  2. O segmento \overline{PQ} é perpendicular à reta r.
Portanto a estratégia natural é:
  • encontrar o pé da perpendicular H de P sobre r;
  • definir Q como o reflexo de P em H, ou seja Q=2H-P;
  • e verificar que o Q obtido coincide com a fórmula do enunciado e satisfaz as propriedades acima.

Passo 3

Por que a reta perpendicular a r tem direção (A,B) ?
A reta r:\;A x + B y + C = 0 tem vetor normal (A,B), isto é, o vetor (A,B) é ortogonal a qualquer vetor tangente de r. Logo uma reta perpendicular a r tem direção do vetor normal (A,B). Assim a reta que passa por P e é perpendicular a r pode ser escrita em forma paramétrica:
x=\alpha + A t,\qquad y=\beta + B t,
onde t é o parâmetro real.

Passo 4

O ponto H é a interseção dessa reta perpendicular com r. Substituindo as paramétricas em r:
A(\alpha + A t) + B(\beta + B t) + C = 0.
Desenvolvendo:
A\alpha + A^{2} t + B\beta + B^{2} t + C = 0,
(A^{2}+B^{2})t + (A\alpha + B\beta + C) = 0.
Logo
t = -\frac{A\alpha + B\beta + C}{A^{2}+B^{2}}.
Agora calculamos as coordenadas de H usando esse t:
H_x=\alpha + A t =\alpha - \frac{A(A\alpha + B\beta + C)}{A^{2}+B^{2}},
H_y=\beta + B t =\beta - \frac{B(A\alpha + B\beta + C)}{A^{2}+B^{2}}.

Passo 5

Construir Q como reflexo de P em H. Se H é o ponto médio de \overline{PQ}, então coordenada a coordenada:
H_x=\frac{\alpha + q_x}{2},\qquad H_y=\frac{\beta + q_y}{2},
onde Q=(q_x,q_y). Isolando:
q_x = 2H_x - \alpha,\qquad q_y = 2H_y - \beta.
Substituindo H_x e H_y achados:
q_x = 2\left(\alpha - \frac{A(A\alpha + B\beta + C)}{A^{2}+B^{2}}\right) - \alpha = \alpha - \frac{2A(A\alpha + B\beta + C)}{A^{2}+B^{2}},
q_y = 2\left(\beta - \frac{B(A\alpha + B\beta + C)}{A^{2}+B^{2}}\right) - \beta = \beta - \frac{2B(A\alpha + B\beta + C)}{A^{2}+B^{2}}.
Portanto
Q=\left(\alpha-\frac{2 A(A \alpha+B \beta+C)}{A^{2}+B^{2}},\;\beta-\frac{2 B(A \alpha+B \beta+C)}{A^{2}+B^{2}}\right),
que é exatamente a fórmula dada no enunciado.

Passo 6

Verificações finais (para garantir que Q é realmente o simétrico):
  1. H pertence a r. Já forçamos isso ao encontrar t pela interseção, mas podemos conferir substituindo H em A x+By+C resulta em zero porque foi a equação que resolvemos.
  2. O vetor \overrightarrow{PQ} = (q_x-\alpha,q_y-\beta) vale
\overrightarrow{PQ}=\left(-\frac{2A(A\alpha+B\beta+C)}{A^{2}+B^{2}},\;-\frac{2B(A\alpha+B\beta+C)}{A^{2}+B^{2}}\right)
que é um múltiplo escalar de (A,B). Assim \overrightarrow{PQ} é paralelo ao vetor normal (A,B), logo \overline{PQ} é perpendicular à reta r.
3. Como H foi tomado como ponto médio ao construir Q, temos que H é o ponto médio de \overline{PQ}.
Esses três fatos juntos mostram que Q é exatamente o simétrico de P em relação à reta r.

Resposta

\displaystyle Q=\left(\alpha-\frac{2 A(A \alpha+B \beta+C)}{A^{2}+B^{2}},\;\beta-\frac{2 B(A \alpha+B \beta+C)}{A^{2}+B^{2}}\right)

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