Calcule as integrais iteradas.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x}{(x y+1)^{2}} d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x}{(x y+1)^{2}}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A integração é feita primeiro em y (limites de 0 a 1) e depois em x (limites de 0 a 1).
  • A função integranda é \dfrac{x}{(x y+1)^{2}}.
    A tarefa é obter o valor numérico dessa integral dupla (avaliando a integral interna em y e depois a externa em x).

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{1}\frac{x}{(x y+1)^{2}}\,dy,
tratando x como constante dentro dessa integração. Uma técnica natural aqui é a substituição trigonométrica simples (substituição linear): tomar
u = x y + 1.
Explicação da ideia: ao derivar u em relação a y obtemos du = x\,dy, então o diferencial dy pode ser trocado por du/x; isso simplifica muito a potência (x y+1)^{2}.

Passo 3

Aplicando a substituição u = x y + 1:
  • Quando y=0, temos u=1.
  • Quando y=1, temos u=x+1.
    Também du = x\,dy ou dy = \dfrac{du}{x}. Substituindo na integral interna:
\int_{0}^{1}\frac{x}{(x y+1)^{2}}\,dy = \int_{u=1}^{u=x+1}\frac{x}{u^{2}}\cdot\frac{du}{x} = \int_{1}^{x+1}\frac{1}{u^{2}}\,du.
Agora integramos \dfrac{1}{u^{2}} = u^{-2}. Uma primitiva é -u^{-1}. Portanto,
\int_{1}^{x+1}\frac{1}{u^{2}}\,du = \left[-\frac{1}{u}\right]_{1}^{x+1} = -\frac{1}{x+1} + \frac{1}{1} = 1 - \frac{1}{x+1}.
Podemos simplificar esse resultado:
1 - \frac{1}{x+1} = \frac{x}{x+1}.
Portanto a integral interna vale \dfrac{x}{x+1}.

Passo 4

Agora a integral dupla reduz-se à integral simples em x:
\int_{0}^{1}\frac{x}{x+1}\,dx.
Para integrar \dfrac{x}{x+1} de forma simples, faço a decomposição algébrica
\frac{x}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}.
Essa manipulação é útil porque as primitivas de 1 e de \dfrac{1}{x+1} são imediatas.

Passo 5

Integrando termo a termo:
\int_{0}^{1}\left(1 - \frac{1}{x+1}\right)dx = \int_{0}^{1}1\,dx - \int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx.
As primitivas são:
  • \int 1\,dx = x,
  • \int \dfrac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1| (a função logaritmo natural).
    Assim,
\left[x - \ln|x+1|\right]_{0}^{1} = \bigl(1 - \ln(2)\bigr) - \bigl(0 - \ln(1)\bigr).
Como \ln(1)=0, obtemos
1 - \ln(2).

Resposta

1 - \ln(2)

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