Calcule as integrais iteradas.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas:
- A integração é feita primeiro em
(limites de a ) e depois em (limites de a ). - A função integranda é
.
A tarefa é obter o valor numérico dessa integral dupla (avaliando a integral interna eme depois a externa em ).
Passo 2
Vamos calcular a integral interna em
:
tratando
como constante dentro dessa integração. Uma técnica natural aqui é a substituição trigonométrica simples (substituição linear): tomar
Explicação da ideia: ao derivar
em relação a
obtemos
, então o diferencial
pode ser trocado por
; isso simplifica muito a potência
.
Passo 3
Aplicando a substituição
:
- Quando
, temos . - Quando
, temos .
Tambémou . Substituindo na integral interna:
Agora integramos
. Uma primitiva é
. Portanto,
Podemos simplificar esse resultado:
Portanto a integral interna vale
.
Passo 4
Agora a integral dupla reduz-se à integral simples em
:
Para integrar
de forma simples, faço a decomposição algébrica
Essa manipulação é útil porque as primitivas de
e de
são imediatas.
Passo 5
Integrando termo a termo:
As primitivas são:
-
, -
(a função logaritmo natural).
Assim,
Como
, obtemos