Exercício 33. Escreva como um único radical:
Passo 1
O enunciado pede para escrever como um único radical a expressão
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Objetivo: reescrever essa fração como um único radical (ou seja, uma única raiz com um único índice).
Passo 2
Primeira ideia útil (fórmula básica): transformar raízes em potências racionais. Para todo
e inteiro
,
Aqui
é a base (o número dentro da raiz) e
é o índice da raiz. Essa fórmula permite manipular raízes usando as regras de potências.
Passo 3
Aplicando a conversão para potências à nossa expressão:
Usando a regra de potências para divisão
, escrevemos
Passo 4
Queremos um único expoente comum com denominador igual para os dois termos, então procuramos o mínimo múltiplo comum (MMC) dos índices
e
. O MMC de
e
é
. Isso permite reescrever os expoentes com denominador
:
Portanto
Passo 5
Agora podemos colocar o fator
em evidência, usando a propriedade
:
Escrevendo
como
, obtemos
Passo 6
Reescrevendo a potência racional como raiz de índice
:
Calculando as potências dentro da raiz:
e
. Assim a expressão fica
Passo 7
Comentário rápido para fixar a ideia: o procedimento geral é transformar raízes em expoentes fracionários, igualar denominadores dos expoentes (usando o MMC), fatorar o denominador comum e voltar para a forma de raiz. Exemplo similar:
(MMC de
e
é
).