Exercício 33. Escreva como um único radical:
\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[5]{3}}

Passo 1

O enunciado pede para escrever como um único radical a expressão
\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[5]{3}}.
Informações dadas:
  • Numerador: \sqrt[3]{2}.
  • Denominador: \sqrt[5]{3}.
    Objetivo: reescrever essa fração como um único radical (ou seja, uma única raiz com um único índice).

Passo 2

Primeira ideia útil (fórmula básica): transformar raízes em potências racionais. Para todo a>0 e inteiro n\ge1,
\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.
Aqui a é a base (o número dentro da raiz) e n é o índice da raiz. Essa fórmula permite manipular raízes usando as regras de potências.

Passo 3

Aplicando a conversão para potências à nossa expressão:
\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[5]{3}}=\frac{2^{1/3}}{3^{1/5}}.
Usando a regra de potências para divisão a^{u}/b^{v}=a^{u}b^{-v}, escrevemos
\frac{2^{1/3}}{3^{1/5}}=2^{1/3}\,3^{-1/5}.

Passo 4

Queremos um único expoente comum com denominador igual para os dois termos, então procuramos o mínimo múltiplo comum (MMC) dos índices 3 e 5. O MMC de 3 e 5 é 15. Isso permite reescrever os expoentes com denominador 15:
\frac{1}{3}=\frac{5}{15},\qquad -\frac{1}{5}=-\frac{3}{15}.
Portanto
2^{1/3}\,3^{-1/5}=2^{5/15}\,3^{-3/15}.

Passo 5

Agora podemos colocar o fator 1/15 em evidência, usando a propriedade a^{r}b^{r}=(ab)^{r}:
2^{5/15}\,3^{-3/15}=\bigl(2^{5}\,3^{-3}\bigr)^{1/15}.
Escrevendo 3^{-3} como \dfrac{1}{3^{3}}, obtemos
\bigl(2^{5}\,3^{-3}\bigr)^{1/15}=\left(\frac{2^{5}}{3^{3}}\right)^{1/15}.

Passo 6

Reescrevendo a potência racional como raiz de índice 15:
\left(\frac{2^{5}}{3^{3}}\right)^{1/15}=\sqrt[15]{\frac{2^{5}}{3^{3}}}.
Calculando as potências dentro da raiz: 2^{5}=32 e 3^{3}=27. Assim a expressão fica
\sqrt[15]{\frac{32}{27}}.

Passo 7

Comentário rápido para fixar a ideia: o procedimento geral é transformar raízes em expoentes fracionários, igualar denominadores dos expoentes (usando o MMC), fatorar o denominador comum e voltar para a forma de raiz. Exemplo similar: \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[6]{7}}=\sqrt[12]{\dfrac{5^{3}}{7^{2}}} (MMC de 4 e 6 é 12).

Resposta

\sqrt[15]{\frac{32}{27}}

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