Determine:
\left(9^{\frac{3}{2}}-27^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de \left(9^{\frac{3}{2}}-27^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}.
Informações dadas: os números e expoentes são \,9^{\frac{3}{2}},\;27^{\frac{2}{3}} e depois uma potência externa \frac{1}{3}.
Objetivo: simplificar/avaliar essa expressão até uma forma final simples.

Passo 2

Regra importante que vou usar (explicação didática): para qualquer número positivo \,a e fração \frac{m}{n} com n>0,
a^{\frac{m}{n}}=\bigl(a^{\frac{1}{n}}\bigr)^{m}=\bigl(a^{m}\bigr)^{\frac{1}{n}}.
Isto significa que um expoente fracionário pode ser visto como raiz seguida de potência (ou o contrário). Exemplos rápidos para fixar a ideia:
8^{\frac{2}{3}}=\bigl(\sqrt[3]{8}\bigr)^{2}=2^{2}=4, \qquad 9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3.
Essa regra é a chave para simplificar os termos do problema.

Passo 3

Calcular \,9^{\frac{3}{2}} usando a regra acima:
9^{\frac{3}{2}}=\bigl(9^{\frac{1}{2}}\bigr)^{3}=\bigl(\sqrt{9}\bigr)^{3}=3^{3}=27.
Expliquei cada passagem: primeiro raiz quadrada de \,9 é \,3, depois elevar ao cubo dá \,27.

Passo 4

Calcular \,27^{\frac{2}{3}} do mesmo jeito:
27^{\frac{2}{3}}=\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}=\bigl(\sqrt[3]{27}\bigr)^{2}=3^{2}=9.
Aqui a raiz cúbica de \,27 é \,3, e \,3^2=9.

Passo 5

Subtrair os resultados obtidos:
9^{\frac{3}{2}}-27^{\frac{2}{3}}=27-9=18.

Passo 6

Aplicar a potência externa \frac{1}{3} (a raiz cúbica) ao resultado:
\left(9^{\frac{3}{2}}-27^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{3}}=18^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{18}.
Se quiser ver uma forma fatorada útil:
18=2\cdot 3^{2}\quad\Rightarrow\quad 18^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{2}{3}}.
Ambas as formas são equivalentes; fica ao gosto do avaliador ou do uso posterior.

Resposta

\sqrt[3]{18}

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