Exercício 33. Escreva como um único radical:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede. Está dado o produto de três radicais:
,
e
. Ou seja, os índices são
,
e
e os radicandos são
,
e
. O pedido é: escrever esse produto como um único radical (ou seja, uma única raiz com um único índice e um único radicando).
Passo 2
Converter radicais em potências racionais — aula rápida e necessária. A definição que vamos usar é:
onde
é o índice da raiz e
é o radicando (assumindo
para evitar complicações). Exemplos simples:
,
. Aplicando isso ao nosso produto:
Isso facilita porque potências multiplicam-se somando expoentes quando têm a mesma base, e podemos forçar todas as frações dos expoentes a terem o mesmo denominador para escrever tudo com um único expoente comum.
Passo 3
Escolher um denominador comum para os expoentes — por que e como. Para combinar em uma única potência do tipo
escolhemos
igual ao mínimo múltiplo comum (MMC, ou lcm em inglês) dos índices
. Calculando:
-
, -
é primo, -
.
O MMC deé . Então vamos reescrever cada expoente com denominador :
Multiplicando:
Aqui usei a propriedade
com
.
Passo 4
Calcular o radicando único e verificar se dá para simplificar. Calculemos cada potência:
Multiplicando:
Assim o produto é
Verificação de simplificação: fatorando
. Para extrair fatores inteiros da raiz
precisaríamos de expoentes múltiplos de
dentro do radicando; aqui os expoentes são
, todos menores que
, logo não há fator que seja potência perfeita de ordem
para extrair. Também não há divisor comum maior que
entre os expoentes que permita reduzir o índice. Portanto
é a forma única (mínima) como radical com índice inteiro positivo.
Passo 5
Resumo final e dica prática para a prova. Método rápido que dá sempre certo:
- Converter cada raiz em potência
. - Tomar o MMC dos denominadores para obter o índice comum
. - Reescrever cada potência com denominador
e juntar em . - Calcular o radicando único e verificar se dá para extrair fatores inteiros.
No exercício específico, aplicar esses passos dá a resposta abaixo.