Exercício 33. Escreva como um único radical:
\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[6]{5}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede. Está dado o produto de três radicais:
\sqrt[4]{2}, \sqrt[3]{3} e \sqrt[6]{5}. Ou seja, os índices são 4, 3 e 6 e os radicandos são 2, 3 e 5. O pedido é: escrever esse produto como um único radical (ou seja, uma única raiz com um único índice e um único radicando).

Passo 2

Converter radicais em potências racionais — aula rápida e necessária. A definição que vamos usar é:
\sqrt[n]{a}=a^{1/n},
onde n é o índice da raiz e a é o radicando (assumindo a>0 para evitar complicações). Exemplos simples: \sqrt[4]{2}=2^{1/4}, \sqrt[3]{3}=3^{1/3}. Aplicando isso ao nosso produto:
\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[6]{5}=2^{1/4}\cdot3^{1/3}\cdot5^{1/6}.
Isso facilita porque potências multiplicam-se somando expoentes quando têm a mesma base, e podemos forçar todas as frações dos expoentes a terem o mesmo denominador para escrever tudo com um único expoente comum.

Passo 3

Escolher um denominador comum para os expoentes — por que e como. Para combinar em uma única potência do tipo (\cdots)^{1/N} escolhemos N igual ao mínimo múltiplo comum (MMC, ou lcm em inglês) dos índices 4,3,6. Calculando:
  • 4=2^2,
  • 3 é primo,
  • 6=2\cdot3.
    O MMC de 4,3,6 é 12. Então vamos reescrever cada expoente com denominador 12:
2^{1/4}=2^{3/12},\qquad 3^{1/3}=3^{4/12},\qquad 5^{1/6}=5^{2/12}.
Multiplicando:
2^{3/12}\cdot3^{4/12}\cdot5^{2/12}=(2^{3}\cdot3^{4}\cdot5^{2})^{1/12}.
Aqui usei a propriedade \,a^{r}b^{r}=(ab)^{r}\, com r=1/12.

Passo 4

Calcular o radicando único e verificar se dá para simplificar. Calculemos cada potência:
2^{3}=8,\qquad 3^{4}=81,\qquad 5^{2}=25.
Multiplicando:
8\cdot81=648,\qquad 648\cdot25=16200.
Assim o produto é
(2^{3}\cdot3^{4}\cdot5^{2})^{1/12}=\sqrt[12]{16200}.
Verificação de simplificação: fatorando 16200=2^{3}\cdot3^{4}\cdot5^{2}. Para extrair fatores inteiros da raiz \sqrt[12]{\cdot} precisaríamos de expoentes múltiplos de 12 dentro do radicando; aqui os expoentes são 3,4,2, todos menores que 12, logo não há fator que seja potência perfeita de ordem 12 para extrair. Também não há divisor comum maior que 1 entre os expoentes que permita reduzir o índice. Portanto \sqrt[12]{16200} é a forma única (mínima) como radical com índice inteiro positivo.

Passo 5

Resumo final e dica prática para a prova. Método rápido que dá sempre certo:
  1. Converter cada raiz em potência a^{1/n}.
  2. Tomar o MMC dos denominadores para obter o índice comum N.
  3. Reescrever cada potência com denominador N e juntar em (\text{produto dos radicandos elevados})^{1/N}.
  4. Calcular o radicando único e verificar se dá para extrair fatores inteiros.
No exercício específico, aplicar esses passos dá a resposta abaixo.

Resposta

\sqrt[12]{16200}

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