Exercício 34. Determine a assíntota horizontal de
f(x)=\frac{3 x^{2}+1}{x^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a assíntota horizontal da função
f(x)=\frac{3x^{2}+1}{x^{2}+2}.
Informações dadas:
  • A função é uma razão de polinômios, com numerador 3x^{2}+1 e denominador x^{2}+2.
  • A pergunta é: qual é a(s) assíntota(s) horizontal(is) — ou seja, a reta y=L (se existir) que a função se aproxima quando x\to+\infty e/ou x\to-\infty.

Passo 2

Definição prática que vamos usar: uma reta y=L é assíntota horizontal de f à direita se
\lim_{x\to+\infty} f(x)=L,
e é assíntota horizontal à esquerda se
\lim_{x\to-\infty} f(x)=L.
Se os dois limites existem e são iguais, a mesma reta y=L é a assíntota horizontal para ambos os lados. Para funções racionais (quociente de polinômios) há um método simples: comparar os graus dos polinômios; quando os graus são iguais, o limite no infinito é a razão dos coeficientes líderes.

Passo 3

Aqui vamos calcular \lim_{x\to+\infty} f(x) de forma explícita, dividindo numerador e denominador por x^{2} (o maior grau comum). Escrevendo:
f(x)=\frac{3x^{2}+1}{x^{2}+2}=\frac{3+\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{2}{x^{2}}}.
Ao fazermos x\to+\infty temos \dfrac{1}{x^{2}}\to0 e \dfrac{2}{x^{2}}\to0. Portanto
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\frac{3+0}{1+0}=3.

Passo 4

Agora \lim_{x\to-\infty} f(x). Observando que x^{2} é a mesma expressão para x\to-\infty (paridade), o cálculo é idêntico:
f(x)=\frac{3+\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{2}{x^{2}}} \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to-\infty} f(x)=\frac{3+0}{1+0}=3.
Assim, em ambos os lados o limite é 3.

Passo 5

Conclusão da parte principal: como
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty} f(x)=3,
a função tem uma assíntota horizontal única, dada por y=3.

Passo 6

Uma observação útil (para prova e intuição): verificar se a função chega a tocar a assíntota ou de que lado se aproxima. Calculemos f(x)-3:
f(x)-3=\frac{3x^{2}+1}{x^{2}+2}-3=\frac{3x^{2}+1-3(x^{2}+2)}{x^{2}+2}=\frac{1-6}{x^{2}+2}=\frac{-5}{x^{2}+2}.
Como x^{2}+2>0 para todo x, temos f(x)-3<0 para todo x. Ou seja, f(x)<3 sempre; a função se aproxima da assíntota y=3 por baixo e nunca a atinge (não existe x tal que f(x)=3).

Resposta

y=3

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