Exercício 34. Determine a assíntota horizontal de
Passo 1
O enunciado pede para determinar a assíntota horizontal da função
Informações dadas:
- A função é uma razão de polinômios, com numerador
e denominador . - A pergunta é: qual é a(s) assíntota(s) horizontal(is) — ou seja, a reta
(se existir) que a função se aproxima quando e/ou .
Passo 2
Definição prática que vamos usar: uma reta
é assíntota horizontal de
à direita se
e é assíntota horizontal à esquerda se
Se os dois limites existem e são iguais, a mesma reta
é a assíntota horizontal para ambos os lados. Para funções racionais (quociente de polinômios) há um método simples: comparar os graus dos polinômios; quando os graus são iguais, o limite no infinito é a razão dos coeficientes líderes.
Passo 3
Aqui vamos calcular
de forma explícita, dividindo numerador e denominador por
(o maior grau comum). Escrevendo:
Ao fazermos
temos
e
. Portanto
Passo 4
Agora
. Observando que
é a mesma expressão para
(paridade), o cálculo é idêntico:
Assim, em ambos os lados o limite é
.
Passo 5
Conclusão da parte principal: como
a função tem uma assíntota horizontal única, dada por
.
Passo 6
Uma observação útil (para prova e intuição): verificar se a função chega a tocar a assíntota ou de que lado se aproxima. Calculemos
:
Como
para todo
, temos
para todo
. Ou seja,
sempre; a função se aproxima da assíntota
por baixo e nunca a atinge (não existe
tal que
).